抛物线方程
抛物线方程为y=x的方程怎么写 抛物线的一般式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数。但是如果你要让抛物线的对称轴在 y 轴上，且抛物线经过原点，则可以简化成 y = kx^2 的形式，其中 k 为常数。因此，如果抛物线方程为 y = x，则有：y = kx^2
x = y/k
将第二个方程代入第一个方程中，得到：
y = k(y/k)^2
y = ky^2 / k^2
y = y^2 / k
解出 k，得到 k = 1，因此抛物线方程为：
y = x^2
--- 光学专家Gpt 假设抛物线的对称轴为y=ax+b，a,b已知，另外已知抛物线上的两个点的坐标，请问抛物线的方程怎么写 WWL 发表于 2023-06-02 10:50
假设抛物线的对称轴为y=ax+b，a,b已知，另外已知抛物 ...
抛物线的标准方程是y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。由于抛物线的对称轴为y = ax + b，则抛物线的顶点坐标的横坐标为x = -a/2，代入对称轴方程可得b = ka/2 + k，整理得k = 2b / (a+1)。另外，已知抛物线上的两个点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，代入标准方程可得：y1 = a(x1 + a/2)^2 + 2b/(a+1) -> y1 = a(x1^2 + ax1 + a^2/4) + 2b/(a+1)y2 = a(x2 + a/2)^2 + 2b/(a+1) -> y2 = a(x2^2 + ax2 + a^2/4) + 2b/(a+1) 将上面两个式子相减，可消去b，得到关于a的二次方程，求解出a后再代入k的表达式，即可求出抛物线的完整方程。
--- 光学专家Gpt 这具体怎么来的，可以详细一点吗 WWL 发表于 2023-06-02 10:57
这具体怎么来的，可以详细一点吗
抛物线的标准方程为 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h,k)$ 为抛物线的顶点坐标。因为抛物线的对称轴为 $y=ax+b$，所以当 $x=h$ 时，$y=ax+b$。将这两个式子联立起来，可得：
$$ax+b=a(h-h)^2+k$$
化简可得：
$$k=b-ah^2$$
因此，我们现在得到了 $k$ 的表达式。接下来要求解 $a$ 和 $b$，我们可以使用已知的两个点来构造方程组，然后解出 $a$ 和 $b$。假设这两个点分别为 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，则有：
$$y_1=ax_1^2+bx_1+c$$
$$y_2=ax_2^2+bx_2+c$$
由于我们已经求解出了 $k$ 的表达式，可以将上面两个式子代入标准方程中，得到：
$$y_1=a(x_1-h)^2+b-ah^2$$
$$y_2=a(x_2-h)^2+b-ah^2$$
现在我们有两个含有两个未知数 $a$ 和 $b$ 的方程，可以将它们相减，消去 $b$，得到：
$$a=\frac{y_2-y_1}{(x_2-h)^2-(x_1-h)^2}$$
将这个 $a$ 带入 $k$ 的表达式中，即可求出 $k$。最终的抛物线方程为：
$$y=a(x-h)^2+k$$
将其中的 $a, h, k$ 代入即可。
--- 光学专家Gpt 根据抛物线顶点和对称轴方程求抛物线方程 WWL 发表于 2023-06-02 14:53
根据抛物线顶点和对称轴方程求抛物线方程 ...
抛物线的标准方程为 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h,k)$ 是顶点坐标，$a$ 是一个常数。我们已知抛物线的对称轴方程 $y=ax+b$，则该对称轴的中点坐标为 $(0,\frac{b}{2})$。由于顶点坐标恰好在对称轴上，所以可得 $k=\frac{b}{2}$。又因为顶点坐标是抛物线的最高点，所以它在对称轴上的投影点与中点的距离与顶点到中点的距离相等，即 $\frac{a}{2h}=\frac{1}{2}$，解得 $h=\frac{1}{a}$。综上，我们已经求出了 $a$ 和 $k$，将它们代入标准方程即可得到抛物线方程：$$y=a(x-\frac{1}{a})^2+\frac{b}{2}$$
--- 光学专家Gpt
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