文献作者：Michael Kuhn, Frank Wyrowski, and Christian Hellmann
文献来源： Non-sequential Optical Field Tracing. Advanced Finite Element Methods and Applications. Springer Berlin Heidelberg, 2013:257-273.
摘要
通过考虑谐波场而非光线，光场追迹法对光线追迹法进行了概括推广。光场追迹法可以容许位于系统不同子区域的不同的建模技术进行无缝连接。基于分解和互联的理念，这篇文章介绍了非序列场追迹的基本概念，同时推导出了相应的算子方程组和一个求解公式用于仿真。对问题的求值需要局部麦克斯方程的解（分解）；并且随着迭代过程的收敛实现解决方案在通过界面处的连续性（互联）。通过使用引入的一种新的光路树算法，对需要求解的局部问题的数量进行优化。最后，我们展示了一些选择局部麦克斯韦方程组的案例和数值结果。
1. 简介
现代光学系统设计需要高级模拟技术。通常，仿真过程中需要在时域或者频域中求解麦克斯韦方程组。即使这些方程的解决方案已经在过去数十年被广泛的讨论，使用比如有限元法（FEM），但由于以下主要原因，其在光学领域仍然非常具有挑战性：（1）感兴趣的波长一般在1微米以下，有时甚至在100纳米之下，（2）一个系统中的长度量级可能在纳米和米之间变化。应用波长532纳米（绿光）的标准激光系统，使用特征尺寸仅有几微米的结构界面并且需要在一个系统中与数厘米或者米的结构一同模拟。这表明物理光学模拟，例如，使用标准的有限元法，如今在标准计算机上并不可行。
另一方面，大部分光学系统可以通过使用近似的方法，实现足够精确的模拟。尤其是光线追迹方法在光学模拟中得到了广泛的使用。几款基于光线追迹方法的商业工具在二十世纪八十年代随着个人电脑技术的新兴便已确立。然而，光线追迹方法有一些严重的限制，例如，当系统中存在微结构时，其便会失效。
这就是我们引入场追迹的原因[6,12]。场追迹将一个光学系统分解成子域。与光线追迹相比，场追迹是计算通过系统的电磁谐波场。在实际应用中，此方法具有三个基本的优势：（1）场追迹法统一光学建模。其概念允许我们在系统的不同子域中应用任何表述矢量谐波场的技术。（2）应用矢量谐波场作为场追迹的基础，为光源建模提供了极大的便利性。通过让谐波场集在系统中传输，可以研究部分时间和空间相干光源以及超短脉冲[9]。（3）在系统建模和设计中，探测器函数的任意类型评价非常重要。使用矢量表述谐波场，能够自由的获取所有的场参数，因此能够引入和评估任意类型的探测器。在场追迹中，通过求解局部麦克斯韦问题以计算各子域。这些局部问题具有这样的属性：能够在所有容许函数的子空间中产生解。此外，近似的麦克斯韦求解器足够精确且比严格的麦克斯韦求解器更高效。从这个意义上来说，我们调整了“域分解以及分解和互联”方法的主要理论，而这些方法已经被使用在许多应用中，参考引用文献[3]和[4]。场追迹的目标是通过联合不同的子域求解器，在保证计算精度的情况下，尽可能快的构筑出一个针对问题的求解器。通过施加连续条件，将局部解进行耦合以求解全局问题。为了这个目的，我们希望将那些在光学中已经完善建立的追迹技术普遍化。文献[12]着重介绍了序列情况。此处我们希望将此理论扩展到非序列情况中并增加更多的描述求解器的算法模块。这篇文章展示了如何进行将分解和互联进行应用。
这篇文章结构如下。在第二部分，我们讨论了局部麦克斯韦求解器的定义。我们描述了如何使用分解和互联的方法来阐述3D麦克斯韦问题。基于诺依曼级数推导出来的使用局部算子的解公式导致一个无穷求和。通过使用一个修订的公式，可以将求和作为一个迭代过程进行重构，这个公式将在第三部分讨论。算法本身可以归结为一个光路逻辑树。应用场追迹方法求解局部问题将在第四部分讨论。最后，我们将在第五部分呈现数值结果并在第六部分进行总结。
2.分解和互联方法
光学系统建模主要是求解麦克斯韦方程组以在R3中获得电场E和磁场H。麦克斯韦方程组的频域表示如下
对于线性物质方程和各向同性介质。系统的折射率n ̂(r)是非均匀的，并且定义如下：
，其中r=(x,y,z)。各频谱w的解是一个电磁谐波场，它是由三个电场分量和三个磁场分量决定的。在光学系统建模中，求解系统域Ω中所有场的分量是一个最普遍待解决的任务。
为了简化符号我们使用场矢量V来概述六个场方向：
由麦克斯韦方程来看，很明显六个场方向并不是独立的。尤其是我们总是可以从电场矢量计算出磁场。然而我们使用场矢量V是为了强调模拟中必须包含了六个场分量，这为我们定义探测器提供了最大的灵活性，能够方便的让我们进行光场性能评估。例如，在能量考虑方面，坡印廷矢量是非常实用的。其定义结合了磁场和电场。
图1阐述了所关心的建模情景。系统位于域Ω⊂R3中。J 个子域Ωj都处在折射率n ̂(r)中，其中r=(x,y,z)是非均匀的。我们使用Γj来表示各子域Ωj的边界。
图1.形式上一个系统被分成J个子域Ωj。所有的子域都处在一个折射率为n的均匀和各项同性介质中。子域的边界用Γj表示。
从实际的角度来看，子域与系统的元件紧密相关，但对于接下来要讨论的内容来说那并不重要。特别是其有利于将一个元件分解成多个子域。此外，有时候这有利于在系统的均质区域定义一个子域。根据建模技术的规格，可以在一定程度上自由地选择子域的形状和尺寸。所有的子域都处在折射率为n的均匀电介质中。
为了获得一个公式以模拟整个系统，我们应用了一些分解和互联的方法。首先我们为每个子域Ωj定义了散射问题。然后我们确定方程以将局部散射问题的解进行互联。最终，全局问题由一个均衡方程描述以确保场的连续性。
为了定义局部散射问题，我们将边界Γj处的光场表示为
此外，我们使用
来定义作用于子域Ωj的输入光场，使用
来定义对应的输出光场。通过算符
散射问题的解定义了输入场到输出场的映射
互联问题描述了在均质中一个输入场和一个输出场中任意一对（
，
）之间的关系。为此我们引入了算子
，将输出场子域ⅈ映射到输入场子域j，其中ⅈ≠j：
图2.场追迹
经过边界Γj（左边）的两个平面部分之间的一个子域和场追迹在两个子域（右边）的平面边界部分间的传播
的应用示意图。
以前计算
需要求解一个麦克斯韦问题，但是现在在均匀介质R3的半空间（与Γj相关）且在边界Γj处的入射场为
时，在边界Γi处所求得的解仅产生
。
最后，我们必须确保光场的连续性。由此引出处理所有子域间的多次作用问题的均衡方程。在Γj处的输出场必须满足方程
可选的光源场
会作用于子域j的输出场，并因此和包含所有其他子域贡献的和相加。根据（10）我们推导出一系列J 方程以用于计算未知的
，其中j=1，…,J。
下一步我们推导方程（10）的矩阵公式。为此，我们定义以下的矢量和矩阵：
I是恒等算子
的对角矩阵。因为我们不考虑子域输出场到其自身输入场的映射，因此P的对角元素总是0。基于此定义我们重写了方程（10），其形式如下
其将产生
|
