前言
上一篇文章介绍的主要都是单个折反射面的情况，但在工程中，更常见的是各种透镜，以及透镜的组合.
本文将忽略光学系统各折射面的具体形式，而讨论一般的（共轴）理想光学系统(perfect optical system)的性质.理想光学系统，也称高斯光学系统(Gaussian optical system)，是指：能对任意宽的空间内的点以任意宽的光束能成完善像的光学系统.
如无特殊说明，本文所说的“光学系统”均指“（共轴）理想光学系统”.
本文主要内容如下：
- 理想光学系统虽然不考虑其组成元件的具体，形式但也要有描述其特征的项目，即基点（包括主点和焦点）和基面（主平面和焦平面），还有就是节点，因此首先要介绍它们的特征.
- 然后和以前一样，要分析理想光学系统的物像位置关系和放大率，不同的是，这里要在两种坐标系下来讨论，一种是以焦点为原点的牛顿公式体系，另一种则是以主点为原点的高斯公式体系.不过这些都是解析法的计算，在节的最后还会介绍更直观的作图法，通过基点、基面和节点的性质来找出物或像的位置.
- 接下来会介绍理想光学系统的组合，重点介绍双光组的等效系统，即通过两个理想光学系统的具体信息来分析它们结合后的等效系统的具体信息.最后介绍更一般的多光组，通过正切计算法和截距计算法来计算它们像方焦点的位置.
- 然后就讨论最经典、最常见的元件——透镜，主要叙述其焦距的计算方法和光焦度的概念，并顺便介绍制镜者公式.
- 之后就是光束限制，即光阑.对于分析或设计整个光学系统，确定其关键的光束限制是必要的，例如真正限制着进入光学系统的能量的元件是哪个，确切限制成像范围的元件是哪个，像面边缘很暗，究竟是哪个元件的作用.它们分别叫做孔径光阑、视场光阑和渐晕光阑，这一节详细介绍它们.
- 最后是景深.前面已经提到过，绝对理想的光学系统是不存在的，物点的像也不是确切的一个点，而是一个弥散斑，只要弥散斑足够小即可认为像是清晰的，由此可知，对于一个确切的像面和一个弥散斑的限制，在物空间相对应的满足要求的也不是一个面，而是一定范围的空间，这个范围就是景深.本节将详细介绍景深的概念及其影响因素.
<hr/>1. 理想光学系统简介
理想光学系统其实就是对近轴光学系统在空间上的延伸，下面就基于近轴光学的概念和性质对理想光学系统进行分析.
上一篇文章已经提到过共轭点、共轭面的概念，那时指的是近轴区高斯光学条件下的物和像的对应点、对应面.在理想光学系统中，任意空间都在高斯光学的条件下，即任一物点发出的光线在光学系统的作用下，其出射光依然交于一点，那么每个物点就会对应一个像点，因此在整个物像空间内，都有这样的对应关系.在这里依然称这样的对应关系为共轭.
关于共轭项应指出如下性质：
- 光轴上物点所对应的共轭像点必在光轴上；
- 过光轴的截面（垂面）内的物点所对应的共轭像点必位于改截面的共轭像面内.
- 在光轴的同一截面内，其成像的性质都是相同的.（放大率公式的直接推论）
- 对于垂直于光轴的物平面，其共轭像平面必垂直于光轴.
- 垂直于光轴的平面物，其共轭的平面像与物在几何上是相似的.（轴向放大率与物距、像距有关，因此不垂轴的情况不是相似的）
显然光学系统的共轭面是无穷多对的，下面通过一些特殊的共轭面、共轭点来进一步说明光学系统的性质.
先设想轴上无穷远物点的成像.如下图所示.
图1
光学系统用上图中括号表示.由于光学系统的口径是有限的，在这部分区域内，无穷远轴上物点视为发出平行光（平行于光轴）线进入光学系统，图中是其中一条光线.根据理想光学系统的性质，轴上物点的像也在光轴上，那么这束平行光经过光学系统后会与光轴交于 F’ 点，这个 F’ 点就是无穷远轴上物点的像点.
- 沿袭单个球面系统的习惯，称 F’ 点为像方焦点(image focus)（或后焦点(rear focus)）.过焦点做光轴的垂面即得到像方焦平面(focal plane).
- 从作图的角度来说，分别延长 AB 和 F’E’ 他们必相交与一点，记作点 Q’ ，过 Q’ 做光轴的垂面，即得到像方主平面(principal plane)，像方主平面与光轴的焦点记作 H’ ，它就是像方主点(Principal point). 如下图所示.
- 像方主点 H’ 到像方焦点 F’ 的距离记作 f’ ，称为像方焦距(focal length).
图2
对于焦平面还有一点说明，如下图所示.
图3
如果是对轴外的无穷远点成像，该点也视为发出平行光，但不平行于光轴，其像点在焦平面上.由此可知，平行光经过光学系统后，一定交于像方焦平面上某点.
- 另一方面，来自之前所谓的像方的平行于光轴的光也会在所谓物方光轴的某点出会聚，这点称为物方焦点(object focus)（或前焦点）.进而可以定义物方焦平面、物方主平面、物方主点以及物方焦距.
应指出，物像方的焦点并不共轭，物方焦点和像方焦点的共轭点分别是像方轴上无穷远点和物方轴上无穷远点.
另外，光线通过光学系统时，入射光线与出射光线与主平面交点的高度是相等的.
- 光学系统的一对主点和一对焦点称为光学系统的基点；一对主平面和一对焦平面称为光学系统的基面.
一组基点和基面就确定了光学一个系统，因此在以后作图表示光学系统的时候，只需要标记出其基点和基面就可以了，如下图所示.
图4
<hr/>2. 物像位置关系与放大率
和前面的单个折射面一样，分析理想光学系统的性质也是要分析其物像位置关系和放大率，对于物像位置关系，手段主要就是解析法和作图法.下面分别介绍这些.
2.1 解析法
根据坐标原点的选择不同，有两种具体的求解方法，分别称为牛顿公式和高斯公式.
如下图所示：
物 AB 的高为 y ，其像 A’B’ 的高为 y’ ；
AF 为物距 x ， A’F’ 为像距 x’ .注意这里的物距或像距分别指物或像到焦点的距离.
那么根据图中的几何关系有 \frac{y’}{-y}=\frac{-f}{-x} 以及 \frac{y’}{-y}=\frac{x&#39;}{f&#39;}
由此得到 xx’=ff’ ，这就是表达以焦点为原点的物像位置公式——牛顿公式.
图5
高斯公式的物距或像距指的就是物或像到主点的距离，即 l 和 l’ .
显然有 x=l-f 和 x’=l’-f’ .代入到牛顿公式就得到 lf’+l’f=ll’ ，但通常写成 \frac{f’}{l’}+\frac{f}{l}=1 的形式，这就是高斯公式.
2.2 放大率
对于垂轴放大率的定义 \beta=\frac{y’}{y} ，
在牛顿公式下可直接推出 \color{red}{\beta=-\frac{f}{x}=-\frac{x’}{f’}} 这两种写法.
在高斯公式下的垂轴放大率也可从牛顿公式推出：
\left(xx’=ff’\right)\Rightarrow \left(x&#39;=\frac{ff&#39;}{x}\right)\Rightarrow\left(x&#39;+f&#39;=\frac{f&#39;}{x}(x+f)\right)\Rightarrow\left(\frac{x&#39;+f&#39;}{x+f}=\frac{f&#39;}{x}\right)
再由牛顿公式和 x 与 l 的关系，又有 \frac{x&#39;+f&#39;}{x+f}=\frac{f&#39;}{x}=\frac{l’}{l}.
那么 \left(\beta=-\frac{f}{x}\right)\wedge\left(\frac{f&#39;}{x}=\frac{l’}{l}\right)\Rightarrow\left(\color{red}{\beta=-\frac{f}{f&#39;}\cdot\frac{l&#39;}{l}}\right).
实际上，物像方的焦距又和物像方的折射率有关：考察下图光路中的几何关系.
图6
显然有 l\tan U=h=l’\tan U’ ，也可以写成 (x+f)\tan U=(x&#39;+f&#39;)\tan U’ .
根据牛顿公式的放大率又可推得 x=-\frac{fy}{y’} 以及 x’=-\frac{f’y’}{y}. 将这二者代入上式化简可得 fy\tan U=-f’y’\tan U’ .特别地，在近轴区又有 fyu=-fyu’ .
另一方面，经过同样的推导，这里同样可以得到拉赫公式 nyu=n’y’u’ ，综上可得到 \frac{f’}{f}=-\frac{n’}{n} ，特别当 n’=n 时可进一步得到有用的 f’=-f.
另外，由于这时理想光学系统，所以其拉赫公式应该标准地写成 ny\tan U=n’y’\tan U’
光学系统放在空气当中，一般情况下物像方的折射率就都是相同的，即满足 f’=-f. 只有少数情况，例如在水底使用的摄影系统，或者眼睛，这时物像方折射率不同，会导致系统的物像方焦距大小不同.
那么在 n’=n 的情况下，高斯公式及高斯公式下的垂轴放大率公式可以得到简化，即
\color{red}{\frac{1}{l’}-\frac{1}{l}=\frac{1}{f’}}.
\color{red}{\beta=\frac{l’}{l}}.
这说明，垂轴放大率和物体位置有关，一个垂轴放大率对应一个位置，进而在同一对共轭面上， \beta 恒定，故物像相似.
对于牛顿公式和高斯公式，有 \alpha=\frac{dx’}{dx}=\frac{dl’}{dl}.
从牛顿公式来分析会较为简明，对其微分得到 xdx’+x’dx=0 ，那么 \alpha=-\frac{x’}{x}. 根据垂轴放大定律可进一步得到 \alpha=-\beta^2\frac{f’}{f}. 若物像方空间介质相同，有 \alpha=\beta^2.
应注意，除了 \beta=\pm1 的位置以外， \alpha 和 \beta 的大小是不同的，即正方体的像一般不是正方体.
如图6所示，过光轴上的一对共轭点( AA’ )，任取一对共轭光线( AM,M’A’ )，它们与光轴的夹角分别为 U 和 U’ ，那么角放大率为 \gamma=\frac{\tan U’}{\tan U}.
根据前述的理想光学系统的拉赫公式以及垂轴放大率，那么角放大率又可写成 \gamma=\frac{n’}{n}\frac{1}{\beta}.
可以发现，对于理想光学系统，也有 \alpha\gamma=\beta.
考察角放大率公式，还能找到一对有用的共轭点——节点(nodal point).用 J 和 J’ 表示，它是指角放大率为 +1^{\times} 的一对共轭点，显然这时的光线经过光学系统后方向不变.
具体分析如下图所示：
图7
显然有 \color{red}{\triangle FQH\cong\triangle J&#39;B&#39;F&#39;}和\color{blue}{\triangle HNJ\cong\triangle H&#39;N&#39;J&#39;}.
于是 FH=J’F’，HJ=H’J’ .
并注意 x_J=\color{red}{FH}+\color{blue}{HJ}=\color{red}{J’F’}+\color{blue}{H’J’}=f’.
另一方面 x_J’=\color{red}{J’F’}=\color{red}{FH}=f.
这就确定了两个节点的位置，他们分别称为物方节点和像方节点.
对于物像空间相同介质的情况有 f’=-f ，节点与主点重合，如下图所示.
图8
2.2 作图法
对于像的位置，还可以通过作图来求得，根据前面介绍过的光学系统的性质，可总结出能直接用于作图的原则：
- 平行于光轴的入射光线，经过系统后必经过像方焦点.
- 过物方焦点的光线，经过系统后必平行于光轴.
- 倾斜于光轴的平行光线，经过系统后必会聚于像方焦平面上某点.
- 物方焦平面上的点（非焦点）发出的光线，经过系统后必称为平行光束，且不平行于光轴.
- 共轭光线与主平面交点的高度相等.
- 过两节点的光线相互平行.
图9
例如上图所示，对于垂直于光轴的物 AB 和图中光学系统，求其像.
过B点做平行光轴的线段 BM ，经过光学系统后，应经过像方焦点 F’ ，故做线段 M’F’ 并延长.
另一方面，连接 BF 并延长，交物方主面于 N 点.这就是过物方焦点的光线，经过光学系统后应与光轴平行，故过 N’ 点做光轴的平行线，交上述延长线与 B’ 点.
B’ 点即是 B 点的像.
由于 AB 垂直于光轴，故其像亦垂直于光轴，过 B 点做光轴的垂线，交于 A’ 点. A’B’ 即是 AB 的像.
<hr/>3. 多光组
3.1 细节分析
对于由多个理想光学系统组成的多光组的成像，关键是要找出其过渡公式，如下图所示.
图10
两光组的基点如图所示， A_1 是物点，经第一光学系统成像为 A_1’ ，它同时作为 A_2 ，是第二光学系统的物点.
- 两光组（光学系统）的相对位置，用前一光组的像方主点与后一光组的物方主点的距离表示，称之为主面间隔，记作 d ，例如第一光组和第二光组的主面间隔为 d_1=H_1’H_2 .它的符号是以 H_1’ 为起点计算的.
- 除了主点的距离，还有一项就是前一光组的像方焦点和后一光组的物方焦点的距离，称之为光学间隔，记作 \Delta ，例如第一光组和第二光组的光学间隔为 \Delta_1=F_1’F_2. 它的符号以 F_1’ 为起点计算的.
这样就得到一组过渡公式 \begin{cases}l_i=l_{i-1}’-d_{i-1}\\[2ex]x_i=x_{i-1’}-\Delta_{i-1}\\[2ex]\Delta_i=d_i-f_i’+f_{i+1}\end{cases}
注意到前一光组的像是后一光组的物，故整体的 \beta=\frac{y_k’}{y_1}=\beta_1\beta_2\cdots\beta_k.
另外，对于物像方焦距和物像方折射率的关系，从多光组的角度而言，是可能涉及到有反射面的，假设有 k 个反射面，则整体上有 \frac{f’}{f}=(-1)^{k+1}\frac{n’}{n}.
当然 ny\tan U=n’y’\tan U’ 对于理想多光组也是适用的.
3.2 双光组整体分析
先考虑两光组的情况，如下图所示.
图11
两光组的基点、焦距、主面间隔、光学间隔已经标注清楚.考虑的将两光组视为一个整体，称之为等效光学系统，现考察其整体的基点和基面.
对于整体的等效光学系统，设其物像方焦点分别为 F,F’ ，物像方焦距分别为 f,f’ ，主点分别为 H,H’ .
一束光 A 平行于光轴入射得到第一光组，与第一光组的物方主面交与 Q_1 ，射出后又入射到第二光组，与第二光组物方主面交于 R_2 ，然后从 R_2’ 射出.
另一束光 S’ 也平行于光轴入射，但是反向入射，与第二光组的像方主面交于 Q_2’ ，射出后与第一光组的像方主面交于 R_1’ ，并从 R_1 射出.
对于作图法，以平行光入射，经过第一光组后必过 F_1’ ，然后进入第二光组，自然可以找到其出射光线，它与光轴的交点就是 F’.
对于解析法，假设 F_2’ 与 F’ 的距离为 x_F’ ，以 F_2’ 为起始点计算，显然 F_1’ 与 F’ 相对于第二光组而言是一对共轭点，那么根据牛顿公式有 \Delta x_F’=-f_2f_2’ （注意符号），那么 x_F’=-\frac{f_2f_2’}{\Delta}. 以此便找到了 F’ 的具体位置.
对于作图法，显然，经过 F 的光线，再经过整个光学系统后必与光轴平行，具体而言，它也应该经过 F_2 点，那么 F 和 F_2 相对于第一光组就是一对共轭点.
对于解析法，同理可得 x_F=\frac{f_1f_1’}{\Delta} ，这个量是以 F_1 为起点计算的.
对于作图法，和单光组的情况一样，作图找主面位置：延长光线 A ，与出射光交于 Q’ 点，过 Q’ 做光轴的垂线，垂足即是像方主点 H’ .另一方面延长光线 S ，与出射光交于 Q ，过 Q 做光轴的垂线，垂足即是物方主点 H .
对于解析法，其实有了焦点的位置，只要再求出焦距，即可得到主点的位置.
根据图中几何关系， \begin{cases}\color{red}{\triangle H_2&#39;R_2&#39;F&#39;\sim\triangle H&#39;Q&#39;F&#39;}\\\color{cyan}{\triangle H_1&#39;Q_1&#39;F_1&#39;\sim\triangle H_2R_2F_1&#39;}\\\color{cyan}{Q_1&#39;H_1&#39;}=\color{red}{Q&#39;H&#39;}\\\color{cyan}{H_2R_2}=\color{red}{H_2&#39;R_2&#39;}\end{cases}\Rightarrow\left(\color{red}{\frac{H’F’}{F’H_2’}}=\color{cyan}{\frac{H_1’F_1’}{F_1’H_2}}\right).
代入具体的关系 \begin{cases}H’F’=-f’\\[2ex]F’H_2’=f_2’+x_F’\\[2ex]H_1’F_1’=f_1’\\[2ex]F_1’H_2=\Delta-f_2\end{cases} ，再将 x_F’ 式代入并化简得到 f’=-\frac{f_1’f_2’}{\Delta}.
另一方面，对整体和局部分别使用公式 \frac{f’}{f}=-\frac{n’}{n} 可得 f=\frac{f_1f_2}{\Delta}.
刚刚是以整体光组的焦点来计算主面位置，还可用部分光组的焦点计算主面的位置，即物方主面到第一光组物方焦点的距离 x_H ，以第一光组物方焦点为起点计算；和像方主面到第二光组像方焦点的距离 x_H’ ，以第二光组像方焦点为起点计算.如图所示.显然有 x_H=x_F-f 和 x_H’=x’_F-f’ .分别代入得到 x_H=\frac{f_1(f_1’-f_2)}{\Delta}，x_H’=\frac{f_2’(f_1’-f_2’)}{\Delta}.
以上的讨论，对于两光组之间的位置关系，都是从两光组焦点的角度出发以 \Delta 计的，还有一种方案就是从两光组主点的角度出发以 d 计.由图中关系， d=f_1’+\Delta-f_2 ，对 f’ 式进行替换，并考虑将两光组都置于空气中 (n_1=n_2=n_3=1) ，则得到 \frac{1}{f’}=\frac{1}{f’_1}+\frac{1}{f_2’}-\frac{d}{f_1’f_2’}.
在此体系下，除了之前确定的整体光组基点到部分光组焦点的距离 x_F,x_F’,f,f’ ，还应指出整体光组基点到部分光组主点的距离 l_f,l_f’,l_H,l_H’ .如上图所示，它们分别指物方焦点到第一光组物方主面的距离，以第一光组物方主面为起点计；和像方焦点到第二光组像方主面的距离，以第二光组像方主面为起点计.
根据几何关系容易得到结论，这里不具体推导，只总结性地给出结论.
\begin{cases}f=\cfrac{f_1f_2}{\Delta}\\f’=-\cfrac{f_1’f_2’}{\Delta}\end{cases}、\ \ \begin{cases}x_F=\cfrac{f_1f_1’}{\Delta}\\x_F’=-\cfrac{f_2f_2’}{\Delta}\\x_H=\cfrac{f_1(f_1’-f_2)}{\Delta}\\x_H’=\cfrac{f_2’(f_1’-f_2)}{\Delta}\end{cases}、\ \ \begin{cases}l_f=f\left(1+\cfrac{d}{f_2}\right)\\l_f&#39;=f&#39;\left(1-\cfrac{d}{f_1&#39;}\right)\\l_H=f\cfrac{d}{f_2}\\l_H&#39;=-f&#39;\cfrac{d}{f_1’}\end{cases}
tip:双光组系统整体的垂轴放大率 \beta 虽也可以用 \frac{-f}{x} 计算，但这里的 f 和 x 指的都是系统整体的焦距和物距，如果只知道 x_1 （物到第一光组物方焦距的距离，以第一光组物方焦距为起点计）的情况下，有 \beta=\frac{f_1f_2}{f_1f_1’-x_1\Delta}.
值得一提的是，还记得上一篇文章中提到的光焦度 \Phi=\frac{n’}{f’} ，显然上式还可写成 \Phi=\Phi_1+\Phi_2-d\Phi_1\Phi_2. 特别是当两光学系统主平面距离 d 很小以至于可以忽略时，有 \Phi=\Phi_1+\Phi_2. 这常用于薄透镜和密接薄透镜组的情况.
实际上，光焦度更常用的定义是像方焦距的倒数，这是说对于像方空间在空气中的光学系统有 n’=1 ，则 \Phi=\frac{1}{f’}.
3.3 多光组计算
对于更一般的多光组，如下图所示.
图12
为方便计算，考虑平行光入射的情况.对于符号表示有如下约定：
- 光线在第 i 个光组主面的投射高度为 h_i ；
- 第 i 个光组的物像方孔径角分别为 U_i,U_i’ ；
- 第 i 个光组像方主面和第 i+1 个光组物方主面的距离为 d_i ；
- 第 i 个光组的像方焦距为 f_i’ .
关于在已知 f_i，d_i 的情况下求 l_F’ 和 f’ 的问题，下面给出两种计算方法，分别称为正切计算法和截距计算法.
从结果出发，根据图中几何关系， l_F’=\frac{h_n}{\tan U_n’} ， f’=\frac{h_1}{\tan U_n’}.
一共就涉及到三个量， h_1,h_n,U_n’ ，而实际上， h_1 是可以随意设定的，而且它决定了 U_n’ ，因此只要计算出 h_n 和 U_n’ 就可以计算出 l_F’ 和 f’ .
对于 h_n 和 U_n’ 是要逐个光组计算的.
先说 h_i ，如下图所示.
图13
根据几何关系有 \frac{h_i-h_{i+1}}{d_i}=\tan U_i’ .从而得到 h_{i+1}=h_i-d_i\tan U_i’ .这便得到了依次计算每个主面投射高度的方法，由于 h_1 和 d_i 都是已知的，还需要 U_i’ .那么下面讨论孔径角.
考虑第 i 个光组的高斯公式，并在等号两端同乘以 h_i 得到 \frac{h_i}{l_i’}-\frac{h_i}{l_i}=\frac{h_i}{f_i’}. 并注意 \frac{h_i}{l_i’}=\tan U’ 和 \frac{h_i}{l_i}=\tan U ，代入得到 \tan U_i’=\tan U_i+\frac{h_i}{f_i’}.
注意到 U_i’=U_{i+1} ，且 U_1 和 f_i 是已知的，那么在上面这个公式里，只需要再知道 h_i 即可计算.
上述讨论说明 h_i 和 U_i’ 应该是交替计算的，只要给定 h_1,f_i,d_i 即可逐步计算得到 h_n,U_n’ .下面大致列举一下计算的具体情况（绿色表示已知量，红色表示利用该公式求得的量，紫色表示最终需要的量）：
\begin{cases}\color{red}{\tan U_1&#39;}=\color{red}{\tan U_2}=\color{green}{\cfrac{h_1}{f_1&#39;}}\\\color{red}{h_2}=\color{green}{h_1}-\color{green}{d_1}\color{green}{\tan U_1&#39;}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\color{red}{\tan U_2&#39;}=\color{red}{\tan U_3}=\color{green}{\tan U_2}+\color{green}{\cfrac{h_2}{f_2&#39;}}\\\color{red}{h_3}=\color{green}{h_2}-\color{green}{d_2\tan U_2&#39;}\end{cases}
\Rightarrow\begin{cases}\color{red}{\tan U_{n-1}&#39;}=\color{red}{\tan U_n}=\color{green}{\tan U_{n-1}+\cfrac{h_{n-1}}{f_{n-1}&#39;}}\\\color{purple}{h_n}=\color{green}{h_{n-1}}-\color{green}{d_{n-1}\tan U_{n-1}&#39;}\end{cases}\Rightarrow\color{purple}{\tan U_n&#39;}=\tan U_n+\cfrac{h_n}{f_n&#39;}
这种方法不计算每一个孔径角，而是计算每一个物距、像距，即根据高斯公式和过渡公式进行计算，即 \frac{1}{l_i’}-\frac{1}{l_i}=\frac{1}{f_i’}，l_{i+1}=l_i-d_i.
这样一步一步计算到最后得到的 l_n’ 即是 l_F’ .
而对于 f’ 则根据前述公式改写：
f’=\frac{h_1}{\tan U_n’}=\frac{h_1}{\tan U_n’}\cdot\frac{\tan U_2}{\tan U_1’}\cdots\frac{\tan U_n}{\tan U_{n-1}}
=\frac{h_1}{\tan U_1&#39;}\cdot\frac{\tan U_2}{\tan U_2&#39;}\cdot\cdots\cdot\frac{\tan U_n}{\tan U_n&#39;}
并注意 \left(l_i\tan U_i=l’\tan U_i’=h\right)\Rightarrow\left(\frac{\tan U_i}{\tan U_i’}=\frac{l_i’}{l_i}\right)\wedge\left(\frac{h_1}{\tan U_1&#39;}=l_1&#39;\right) ，
有 f’=\frac{l_1’\cdots l_n’}{l_2\cdots l_n}.
这样，按这种方法也可以完整地得到 l_F’ 和 f’ . 下面大致列举一下计算的具体情况
\begin{cases}l_1’=f_1’\\l_2’=\cfrac{l_2f_2’}{l_2+f_2’}\\\cdots\\l_n&#39;=\cfrac{l_nf_n&#39;}{l_n+f_n&#39;}\end{cases} \rightleftharpoons \begin{cases}\\l_2=l_1’-d_1\\l_3=l_2&#39;-d_2\\\cdots\\l_n=l_{n-1&#39;}-d_n\end{cases}
从而计算出 l_F’=l_n.
<hr/>4. 透镜(lens)
透镜是光学系统中最常见的元件，它是由两个折射面包围的一种透明介质所形成的零件，这两个折射面可以是球面、平面（可视为半径趋于无穷的球面）、甚至是经过巧妙设计的复杂的非球面，本节主要介绍由折射球面构成的透镜.
对于透镜，常以光焦度进行分类：
- 若光焦度 \Phi=\frac{1}{f’}>0 （考虑放置于空气中， n’=1 ），则称为正透镜(positive lens)，它对光线有会聚作用，平行于光轴的一束光从左侧入射会聚于右侧的像方焦点处，故也称为会聚透镜(converging lens).
- 若光焦度 \Phi=\frac{1}{f’}<0 ，则称为负透镜(negative lens)，它对光线有发散作用，平行于光轴的一束光从左侧入射，经过透镜会发散，而对发散的那束光线做反向延长线，会聚于左侧的像方焦点处，故也称为发散透镜(diverging lens).
- 既然透镜可以看作两个折射面的组合，自然就可以从多光组的角度进行分析.
首先站在理想光学系统的角度回顾单个折射球面：显然其两个主点都与球面顶点重合，上一篇文章已经说过，其物像方焦距分别为 f=-\frac{nr}{n’-n} 以及 f’=\frac{n’r}{n’-n}.
设左右两个折射面标号分别为 1 和 2 ，并考虑透镜置于空气中，透镜折射率为 n ，即 n_1=n_2’=1，n_1’=n_2=n. 则有 \begin{cases}f_1=-\cfrac{r_1}{n-1}\\f_1’=\cfrac{nr_1}{n-1}\end{cases}\quad\quad\quad\begin{cases}f_2=\cfrac{nr_2}{n-1}\\f_2’=-\cfrac{r_2}{n-1}\end{cases}.
另外，和以前一样，两顶点的距离，其实就是两主面的距离 d 称为透镜的光学厚度，而 F_1’ 和 F_2 的距离 \Delta=d-f_1’+f_2 为透镜的光学间隔.
以此代入前述双光组的焦距公式，有 f’=-f=-\frac{f_1’f_2’}{\Delta}=\frac{nr_1r_2}{(n-1)[(r_2-r_1)n+(n-1)d]}.
显然这让人头皮发麻，但写成光焦度就会好一点： \Phi=\frac{1}{f’}=(n-1)(\rho_1-\rho_2)+\frac{(n-1)^2}{n}\rho_1\rho_2d. 其中 \rho_1=\frac{1}{r_1} ， \rho_2=\frac{1}{r_2}. 这就是制镜者公式(Lensmaker&#39;s equation).
这样，对于薄透镜，即 d 很小以至于可以忽略时，有 \Phi=(n-1)(\rho_1-\rho_2).
<hr/>5. 光阑(diaphragm)
对于光学系统的成像现象，除了前面讨论的物像关系和放大率外，还应该有对成像范围的要求和分辨率的要求，这些都与光学系统的孔径有关.而实际上，只有镜筒作为光束限制有时是不够的，应该额外在光学系统中间插入一些限制光束的元件，这些元件统称为光阑(diaphragm)（也称为stop）.
光阑可能是光学系统中某个元件的边框，也可能是专门设计的带有内孔的金属薄片.这个孔可能是圆形的，也可能是矩形的.孔的大小可能是固定的，也可能是可变的.
通过后面的介绍会看到这些限制在功能上的不同：
对于限制成像光束立体角的光阑称为孔径光阑(aperture stop).
对于限制最大成像范围的光阑称为视场光阑(field diaphragm).
还有一种光阑，它限制了轴外物点发出的部分光束，这样就使越靠近视场边缘的像越暗，这种效果称为渐晕，如下图所示，这种光阑称为渐晕光阑(vignetting stop).
图14
还有一种是消杂光光阑(stray light eliminating stop).对于非成像物体发出的光，当其进入光学系统时，随着仪器内壁的反射也会投射到像面上，造成像面模糊，这些光称为杂散光.特此安装一组消杂光光阑可以拦截一部分杂光.
5.1 孔径光阑
在一个光学系统中可能有多种光束限制，如下图所示.
图15
H_1 和 H_2 分别是光学系统中的两薄透镜的主点， Q_1,Q_2 是金属薄片的孔.
考察从轴上 A 点发出的一束光，它们经过透镜 1 的时候是都可以通过的，但到了金属薄片处，上面两光线被挡住了，只有最下面红色的孔径角为 u 的光线可以通过，当然它同样可以通过透镜 2 .
显然，如果两个透镜的口径再稍小一点，也不会影响入射光线的最大孔径角 u ，而对于金属薄片 Q ，它才是真正限制最大孔径角 u 的元件，是孔径光阑.再重复一次，本质上，只要该元件限制了物方孔径角就是孔径光阑，可以放在任何位置，例如还可以放在第一个透镜的前面.
但有趣的是，对于轴外点成像，当孔径光阑的位置不同时，该点所发出的参与成像的光束通过透镜的部位不同，在这种情况下，对于一定的孔径角要求，光阑越靠近透镜，对透镜口径的需求就越小.如下图所示的 A,B,C 三种孔径光阑的位置.
图16
为了更确切地描述光学系统，特此引入入射光瞳(entrance pupil)和出射光瞳(exit pupil)的概念，如下图所示.
入射光瞳，简称入瞳，是指孔径光阑被在其前面部分（靠近通常的物方）的光学系统所成的像.它可以理解为物面上各点所发出的能参与成像的光束的公共入口.
出射光瞳，简称出瞳，是指孔径光阑被在其后面部分（靠近通常的像方）的光学系统所成的像.
图17
特别地，如果孔径光阑在系统的最前面，则它与入瞳重合.同样地，如果孔径光阑在系统的最后面，则它与出瞳重合.
最后总结一下孔径光阑、入瞳、出瞳的一些值得注意的性质：
- 对于判断孔径光阑，要根据其本质，哪一个元件的边框确切地限制了物方孔径角，那个边框就是孔径光阑.具体可有两种方法：
- 设想轴上物点发出近轴光线通过光学系统，会在每一个元件上有一个投射高度h，并注意每个元件都有其口径 D .显然就是哪一个元件的 \frac{h}{D} 最大，那个元件的边框便是孔径光阑；
- 另一种方法就是让光学系统中的每一个元件的边框经过其前面的所有透镜成像，然后取一轴上点，比较每一个像对这个点的张角，最小者所对应的物便是孔径光阑.
- 孔径光阑是要配合物点来指定的，对于不同物的位置，孔径光阑可能是不同的，如下图所示.
- 根据入瞳和出瞳的定义可以发现，它们对于整个光学系统是共轭的，即入瞳经整个光学系统所成的像是出瞳.
- 通过入瞳中心的光线必通过孔阑中心，且过出瞳中心，这条光线称为主光线(chief ray)。
- 通过入瞳边缘的光线必通过孔阑边缘，并过出瞳边缘。
图18
5.2 视场光阑
在很多光学系统中，视场光阑都安置在最终的实像平面或光学系统中间的实像平面上.
- 对于具体的判断视场光阑有如下方法：要判断视场光阑首先要确定孔径光阑，确切地说是找到入瞳的位置，然后将光学系统中所有元件的孔径通过其前面的镜组进行成像，然后判断这些像对入瞳中心的张角，张角最小者所对应的物即是视场光阑.
类似与入瞳、出瞳对应孔径光阑，也有入射窗(entrance window)、出射窗(exit window)对应视场光阑，即：
视场光阑经其前面的部分光学系统所成的像为入射窗；
视场光阑经其后面的部分光学系统所成的像为出射窗.
显然前述的对入瞳中心张角最小的像即是入射窗.
既然提到视场光阑，自然应该进一步介绍关于视场(field of view)大小的描述.整体上，视场分为物方视场和像方视场，而对于视场大小，一般有两种描述方法，一种是线视场，另一种是视场角.
当系统对有限远物体成像时，通常用线视场来描述视场大小，线视场是用长度来表示视场，物方线视场用物高的二倍来表示，即2y；那么像方线视场用像高的二倍表示，即2y’.如下图所示.
而当系统对无穷远处物体成像时，则用视场角来表示视场大小.其中物方视场角指的是物方视场的上下边缘的主光线之间的夹角，其实也就是入射窗对入瞳中心的张角，一般记作 2\omega ；像方视场角是指像方视场上下边缘的主光线间的夹角，也就是出射窗对出瞳中心的张角，一般记作 2\omega’ .如下图所示.
图19
5.3 渐晕光阑
对于轴外物点可能出现的情况就是，即使对于它已经进入入瞳的光束，也不能全部通过系统成像，这是因为其中的一部分光被其他的元件边框所限制.如下图所示.
图20
这种现象称为渐晕，引起渐晕的光孔称为渐晕光阑.它会导致该物点的像较暗.显然，离光轴越远的物点渐晕现象越严重.
对于判断渐晕光阑有如下方法：这里也要先确定入瞳，将光学系统中所有元件的孔径通过其前面的镜组进行成像，然后取一轴外物点，考察各个像对这个轴外点的张角，当然这些像也包括入瞳.如果有某个像对该轴外物点的张角比入瞳对该点的张角还要小，则它就可能是渐晕光阑，但要确定具体哪个是有效的渐晕光阑，要看张角最小者，最小者对应的物即是渐晕光阑.当然，可能出现的情况就是口径上边缘的最小者和口径下边缘的最小者不来自同一个像，因此整体来说渐晕光阑可能有0、1、2个，如下图所示.
图21
它表示的就是双渐晕光阑的情况：
L_1,L_2 分别是两个透镜；
Q_1,Q_2 是孔径光阑；
P_1,P_2 是入瞳；
P_1’,P_2’ 是出瞳. 显然 L_1 的镜框就限制了 B 点所发出光束靠近下方的一部分， L_2 的镜框限制了 B 点所发出光束靠近上方的一部分，它们都是渐晕光阑.
为了描述渐晕的程度，引入渐晕系数(vignetting factor)，它也分为线渐晕系数和角渐晕系数.
线渐晕系数是指轴外物点能通过光学系统进行成像的光束，在入瞳面的截面积与入瞳本身的面积之比.当然也可以在出瞳上这样定义，计算的结果显然是一样的.
角渐晕系数是指轴外物点在入瞳平面上垂直于光轴的宽度与入瞳直径之比.
<hr/>6. 景深(depth of field)
前面对于成像的介绍都是基于理想光学系统，那只是垂轴的物像共轭面之间的事，而实际上有很多光学系统要用于给一定的空间成像，下面就对这种情况进行讨论，如下图所示.
图22
回顾之前的垂轴共轭面， AB 为垂轴的物， A’B’ 为垂轴的像，现在将接收器放在这个像平面上，称之为景象平面，它所对应的物面称为对准平面.
现考虑物空间的另外一些点 B_1,B_2,B_3,B_4 ，它们通过光学系统所成的像是 B_1’’,B_2’’,B_3’’,B_4’’ ，显然它们不在同一平面上.
分别看这些点发出的光投射在景象平面上的情况：
- 先看 B_1 ，当它经过光学系统成像在 B_1’’ 点后，光线继续传播，当到达景象平面后，主光线到了 B_1 点，其他的光线与景象平面相交的范围在 a’b’ 之内，这就形成了 a’b’ 这么大的弥散斑.
- 对于 B_2,B_3 两点，它们的主光线是重合的，因此它们的主光线与景象平面只会聚于一点，二者虽然在空间中不重合，但在景象平面上会有很高的重合度（考虑弥散斑）.
- B_4 的像在景象平面的后面，同样考虑它发出的同心光束，在景象平面上依然是一个弥散斑.
综上不难发现，不在对准平面上的物，其像在景象平面上都是弥散斑，只是大小不同而已，且像点越靠近景象平面，其弥散斑越小，相应地，其物也越靠近对准平面.
实际上，任何接收器都不是完善的，在一定程度上，只要弥散斑在一个足够小的范围内，接收到的效果都是一样的，因此无法（装配上也无法达到绝对）也不必要求像点必须是一个几何点.
对于这方面的具体细节在后面分析典型光学系统时会分别展开来说. 由此可知，对于一个光学系统，在对准平面的前后一段空间内也是可以和对准平面同样清晰地成像.在这部分空间内，最靠近光学系统的平面称为近景平面，最远离光学系统的平面称为远景平面，如下图所示.
图23
- 光学系统的入瞳直径为 2\alpha.
- 远景平面和近景平面与对准平面的距离分别为 \Delta_1,\Delta_2 ，不考虑符号.
- 近景平面和远景平面的距离称为景深，记作 \Delta. 即 \Delta=\Delta_1+\Delta_2.
- B_1 点是远景平面上的物点，它发出的光束在对准平面上弥散斑直径为 z_1 ，经过光学系统后，其共轭点为 B_1’’ ，并在景象平面上弥散斑为 z_1’.
- A 是对准平面上的物点，经光学系统后其像为景象平面上的 A’ 点.
- B_2 是近景平面上的物点，它发出的进入入瞳的光的反向延长线交对准平面为圆面，其直径为 z_2. 该物点经光学系统成像在 B_2’’ 点，其间的光束在景象平面上的弥散斑直径为 z_2’.
- 远景平面到入瞳的距离为 p_1 ，其共轭面到出瞳的距离为 p_1’ ，考虑符号，二者分别以入瞳和出瞳的位置为起点计算，左负右正.
- 对准平面到入瞳的距离为 p ，其共轭面到出瞳的距离为 p’ ，符号情况同上.
- 近景平面到入瞳的距离为 p_2 ，其共轭面到出瞳的距离为 p_2’ ，符号情况同上.
下面考察影响景象平面上弥散斑大小的因素：
设光学系统的放大率为 \beta ，根据几何关系可以得到 z_1’=2\beta a\frac{p_1-p}{p_1} ， z_2’=2\beta a\frac{p-p_2}{p_2} .
这说明弥散斑大小和入瞳直径、对准平面与入瞳的距离、物点到对准平面的距离都有关.
最后介绍景深的计算，下述推导均不考虑符号，来自图中的量均取正.
根据图中几何关系有 \frac{z_1}{2a}=\frac{p_1-p}{p_1} 和 \frac{z_2}{2a}=\frac{p-p_2}{p_2}. 因此 p_1=\frac{2ap}{2a-z_1} 和 p_2=\frac{2ap}{2a+z_2}.
进一步有 \Delta_1=p_1-p=\frac{pz_1}{2a-z_1} ， \Delta_2=p-p_2=\frac{pz_2}{2a+z_2}.
现考虑弥散斑的允许值（最大限度）的情况，即 z_1=z_2=z ，相应地有 z_1’=z_2’=\beta z.
那么对于确定的景象平面位置（等价于确定的对准平面位置，即确定的 p ）.有 \Delta=\Delta_1+\Delta_2=\frac{4apz}{4a^2-z^2}.
综上，入瞳直径越小则景深越大.拍照时缩小光圈可以获得更大空间清晰像的原因就是这样.
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