非序列光场追迹（下）

cherryjhy · 发表于 2023-3-17 17:22:35

让我们在这里讨论一个关于算子

的特殊情况，即算子用于一个平面界面元件。我们考虑一个平面边界介于两种真实折射率为n_i和n_t的均匀介质间，它位于在z=0处。我们假设边界垂直于z轴。平面波在xz平面内传输，并假设以角度θ_i，从折射率为n_i的材料中入射。由于边界是无穷的，在xz平面内传输的单一反射和单一透射是通过相互作用产生的。波沿由角度θi和θt定义的方向传播。

在准二维几何中，麦克斯韦方程组被分成可分别求解的两组。一组中仅包含y方向的电场（以及x方向和z方向的磁场），这一组讨论的是TE偏振。另外一组仅包含了y方向的磁场以及x和z方向的电场，然后这一组讨论的是TM偏振。两种偏振情况都能给出边界条件的一个直接评估。总之，例如，TE偏振以及通过

来表示入射光的复振幅，这个波可以使用如下形式来表示

同理，振幅为

的反射光可以写为如下形式

我们已经注意到，光在入射介质中会反向传输。最后，复振幅为

的透射光的表达式如下

接下来使用

的连续条件，从而获得的决定反射和透射平面波自由参数的方程。在(x,z)=(0，0)处使用连续条件，推导出

θi，θr和θt之间的三个方程，从中我们可以直接获得反射定律

以及斯涅尔折射定律

其中定义了角度θt。此外，对于反射和折射场振幅，我们可以获得以下关系式

以及

上述公式即是TE偏振光的菲涅尔方程。

在此处给出的两个算子，用于下一部分中作为模型问题来讨论的平面界面问题。下一部分，我们将假设有一个傍轴设置，即θi=0。

5.数值案例

在实际中，非序列场追迹算法的性能可以使用一个Fabry-Perot干涉仪系统来进行验证。特别是我们考虑一系列平行平板，如图5所示。我们再次引入了分解：一个平板分成两个边界。然后我们在均匀介质中（空气或者平板介质）应用平面波角谱算子并在每个边界使用（37）-（38）中的散射算子。

图5.多平板实验装置。我们认为平板间的介质为空气（n=1），平板具的折射率n是一个变量。

平板放置在空气中，空气折射率n=1.0027。在这个实验中，我们改变平板的折射率、平板数目以及平板厚度。平板的距离（如果超过一个）是5mm。我们使用了一个直径为几毫米的平面光源。实验中波长是变化的。不考虑吸收。
在第一个实验系列中，我们研究了算法的收敛性。为此，我们使用了试验光线算法，并观察了rk的收敛性（见（25））。结果见图6。

图6.不同设置的收敛结果：2个平板，折射率n=1.5（左图），2个平板，折射率n=3.0（中图）以及4个平板，折射率n=1.5（右图）。

我们考虑了两个平板（4个边界），其中n=1.5；两个平板（4个边界），其中n=3.0以及四个平板（8个边界），其中n=1.5。为了将误差降低到0.01，所需的迭代数分别为8（2个平板，n=1.5），13（2个平板，n=3）以及17（4个平板，n=1.5）。
在第二个实验系列中，我们针对一些入射场使用了非序列场追迹算法，见图7。我们计算了不同装置的透射率。为了评价新的方法，我们使用一个严格的傅里叶模态法（FMM）[10]，将两者的结果进行了对比。这种方法考虑的是周期性系统，并计算了一个无穷入射平面波的效率。FMM算法非常成熟，我们希望两种方法所计算出来的结果能够高度一致。

图7.左图，入射平面波（5mm直径）的振幅。右图，波长在400nm（n=1.4705）到600nm（n=1.4584）范围之间变化时Fused Silica的折射率。

在实验中我们也考虑了色散效应。当材料的折射率与波长相关时，即会产生这些效应。为此，我们使用Fused Silica作为平板材料。折射率如图7所示。我们再次改变一些系统的参数，考虑单个平板（2个边界）。在第一个系列中，我们将厚度作为变量，变化范围从1um到2um。

图8.单个fused silica平板的透过率。左图：波长为500nm，厚度在1um到2um之间变化。右图：厚度2um，波长在400nm（n=1.4705）到600nm（n=1.4584）范围之间变化。

在第二个系列中，波长在400nm到600nm之间变化。结果如图8所示。最后，我们对比了场追迹算法以及FMM的结果。

表1.场追迹方法与FMM所计算的透射率对比。

结果如表1所示。正如期望一样，在所有的值之间可以看到一个非常好的吻合。

6. 结论

我们展示了可用于光学仿真问题高效解答的光场追迹技术。由此生成的算法能够结合那些包含严格和近似方法的局部麦克斯韦求解器。在光学中，局部问题通常表现良好且局部求解器可以适应于局部特征以加快计算速度。进一步的实验检测并将这些局部特征进行分类。这些信息可以用于设计合适的局部求解器。此文章中所呈现的解算法可以很容易的并行运行。特别是一个树级次的所有局部求解器可以在一个分布计算环境下进行并行运行。然后，实现交流仅需要完成与子域边界相关的场数据的交换。尽管是为了将谐波场传播通过光学系统我们将场追迹公式化，但它也可以被用于一般场，如静态和脉冲光[9,11]。为此，一般场可以分解为一系列谐波场模式这些模式可以被追迹通过系统并使用合适的探测器进行评估。
致谢：此处为Ulrich Langer学生，M.Kuhn博士的个人致谢。我总是乐于成为Ulrich Langer的学生和同事。我想要感谢他非凡的教育。Ulrich在表述科学问题方面具有卓越的能力，具有很强的实践意义。他鼓励我在麦克斯韦问题这个领域工作。最终，这引领我成为极具创新的光学仿真工具VirtualLab[6]软件优秀开发团队的一员。我希望将此文章献给Ulrich。最后，他的前提“给需要解决的问题设置一个数学公式！”是这篇文章中所给出的结果的起点。最后但同样重要的是，没有我的合作作者以及LightTrans的同事，这篇文章是不可能完成的。

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