非序列光场追迹（中）

cherryjhy · 发表于 2023-3-17 17:21:13

图3中，箭头表示光场在两个平板之间的传输。虚线箭头表示此传输对最终场没有贡献，即，可以将其忽略。此外，箭头按级次1至5进行排序。级次指数代表

了迭代数k。由于实际原因，我们为每个平板都引入了一个正面和背面。对如3中所描述的系统。对应的光路树如图4中所示。树的节点与任意矢量

的一个输入（被加项）或者与在Γj处的解

相联系。节点之间的联系与算子

或者

有关。不失一般性，我们假设

仅对一个指数j成立。因此，树仅有一个根节点。

忽略虚线链接，光路树对于计算截断总和是最合适的（20），因为其仅仅包含了那些必须的算符而相同的算符（求解相同的麦克斯韦问题两次）不会出现。

最后我们将讨论一个用于生自动生成光路树的算法。特别是我们想基于光线追迹近似使用试验光线来检测稀疏性。首先，我们引入一个数据集以来描述试验光线：

现在，对于试验光线，我们定义两类算子：（i）

-对于在Γj上给定的试验光线，计算试验光线上域Ωj的效应。（ii）

-对于在Γ_i上给定的试验光线，计算在Γi和Γj之间的自由空间的效应。

图4.光路树用于两个平板的示例，其截断总和在k=5。

此外，我们可以通过对试验光线使用强度规则来控制终止时机。为此，我们将光源的强度初始化为1。算子和在处理强度时考虑了吸收效应、界面处的菲涅尔效应以及其他效应。对于一个给定的光源，我们定义树的根节点n^0并且指定初始试验光线强度为1。对于初始列表

和一系列节点

，用来构建树的算法AddNodes被递归调用。

再次说明，条件（18）保证了树生成算法的终止。

4.场追迹方法

在前面的部分我们已经描述了用于求解光学仿真任务的基于分解和互联技术的算法。已经表明，此算法需要两类算子。算子

用于描述任意散射体间的自由空间传输，算子描述光学元件的散射效应。对于这些算子，仍然需要定义显式的公式。那么问题来了，和是否必须是严格的麦克斯韦方程求解器。如果是，此方法将会被限制在那些已知的物理光学上，包括最主流的如有限和边界元法，有限差分和有限积分技术。然而，经典光学建模和设计到现在已经使用时数十年了，从中我的知道，几何光学方法和其他的近似方法是及其强大的技术，能够描述自由空间传输和各种重要的光学元件对谐波场的效应。由于光学系统的设计可以看做在特定条件下求解局部麦克斯韦问题，因此那些近似通常是有效的。对于此约束，一个经典的例子是在经典激光系统中发生的局部傍轴场。因此，实际经验非常鼓励我们使用不同的严格和近似局部麦克斯韦求解器以求解算子和。用于一个系统子域的任何合适的建模技术都必须对电磁谐波场公式化。在此必须强调是，在过去这种方法并未在光学建模中成为标准。因此系统建模不是基于一种建模技术，而是多种建模技术的平滑结合，同时每个子域足够精确。这就是我们所说的统一化光学建模。在此方法中，根据之前给出的方程，谐波场以不同的算子和的形式被追迹通过系统。我们把这种方法称为场追迹，它是对光线追迹的自然推广，其中光线追迹是通过几何光学，追迹通过一个系统所有子域的光线束。总之，分解和互联算法，结合在不同的子域中针对和进行的谐波场技术的适当选择，实现了场追迹法统一化光学建模。在光学系统的建模中，生成的非序列场追迹概念是对非序列光线追迹本质的推广。

对于算子和，已经在[12]中提出了一些可能的选择。其中，推导了几个自由空间算子并讨论了他们的近似特性。算子的一个严格版本可以从z=0处一个谐波场的平面波分解直接推导而来。这个分解过程可以描述为，将谐波场的任意分量傅里叶变换至k空间[1]：

其中k=(kx,ky )，ρ=(x,y)且l=1,…,6。其逆变换如下：

对于平面波算子

的推导，我们使用如下的事实，即每个平面波的传输通过乘以相位项

[2,5]进行描述。方向分量kz表示如下

算子定义如下

平面波角谱(SPW)算子没有引入物理近似。让我们来讨论其数值特性。光场分量的带宽在传输过程中是一个不变量。这可以从严格SPW算子（29）中推导出来。频谱乘以相位因子exp⁡[ⅈkz]。这一步并不改变频谱的范围，也就是光场的带宽。基于采样原理[1]，一个不变的带宽可以直接得出结论，即场的（最大）采样周期在传输中也是一个不变量。为了将（31）应用到一个采样场，需要两个离散傅里叶变换。对于采样点数N ，其数值计算量是接近最优的（O（NlogN））。采样点数是基于采样周期（传输过程中不变）以及输入和输出之间最大的场尺寸来定义的。因此，如果传输过程中场尺寸不明显变化的话，SPW算子会有一个接近最优的数值计算量。这种情况适用于小角度的傍轴场。然而，对于非傍轴场，用来评估结果的数值计算量变得不现实。在这种情况下，场尺寸在传输后可能比z=0处的场大的多。这就是为什么在可能的情况下必须使用相应的近似算子，，如适合于傍轴情况的菲涅尔算子或者适合于远场情况远场算子。在[12]中，已经显示了如何设计一个选择合适算子的自动程序以产生一个自动选择的自由空间传播算子。也可以使用快速边界元方法来替代。

对于分量传输算子，几何光学方法被广泛的使用。关于他们的讨论，也可在[12]中发现。有限元微分法也可用于。为了理解有限元微分法，[8]中讨论了散射问题的公式化。让我们来简短的讨论一下效率问题。在场追迹的框架中，对一个子域生成的有限元系统，整个迭代过程保持不变。迭代进入边界条件，即，仅在方程的右边。在场追迹中迭代过程仅处理一次，而对于不同的右边部分，同样的系统需要进行多次求解。即，由于计算起来困难的矩阵分解可以被重复使用，因此使用直接求解器以求解有限元系统这种做法会非常高效。

非序列光场追迹（中）

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