非序列光场追迹（中）

cherryjhy · 发表于 2023-3-17 17:19:15

从实际的角度来看，子域与系统的元件紧密相关，但对于接下来要讨论的内容来说那并不重要。特别是其有利于将一个元件分解成多个子域。此外，有时候这有利于在系统的均质区域定义一个子域。根据建模技术的规格，可以在一定程度上自由地选择子域的形状和尺寸。所有的子域都处在折射率为n的均匀电介质中。

为了获得一个公式以模拟整个系统，我们应用了一些分解和互联的方法。首先我们为每个子域Ωj定义了散射问题。然后我们确定方程以将局部散射问题的解进行互联。最终，全局问题由一个均衡方程描述以确保场的连续性。
为了定义局部散射问题，我们将边界Γj处的光场表示为

此外，我们使用

来定义作用于子域Ωj的输入光场，使用

来定义对应的输出光场。通过算符

散射问题的解定义了输入场到输出场的映射

互联问题描述了在均质中一个输入场和一个输出场中任意一对（，）之间的关系。为此我们引入了算子

，将输出场子域ⅈ映射到输入场子域j，其中ⅈ≠j：

图2.场追迹

经过边界Γj（左边）的两个平面部分之间的一个子域和场追迹在两个子域（右边）的平面边界部分间的传播的应用示意图。

以前计算需要求解一个麦克斯韦问题，但是现在在均匀介质R3的半空间（与Γj相关）且在边界Γj处的入射场为时，在边界Γi处所求得的解仅产生。

最后，我们必须确保光场的连续性。由此引出处理所有子域间的多次作用问题的均衡方程。在Γj处的输出场必须满足方程

可选的光源场

会作用于子域j的输出场，并因此和包含所有其他子域贡献的和相加。根据（10）我们推导出一系列J 方程以用于计算未知的，其中j=1，…,J。
下一步我们推导方程（10）的矩阵公式。为此，我们定义以下的矢量和矩阵：

I是恒等算子的对角矩阵。因为我们不考虑子域输出场到其自身输入场的映射，因此P的对角元素总是0。基于此定义我们重写了方程（10），其形式如下

其将产生

如果下列条件

满足的话，则方程（17）可以很好的被定义并使用诺曼级数[7]来进行求解

对广泛的应用来说，条件（18）是成立的。在介质中、外部边界处（无限）或者与探测器相连的边界处的任意吸收过程都会导致||CP||<1，因为||C||≤1且||P||≤1。然而，对于没有任何损耗的腔体，||CP||=1，因此，诺曼级数不会收敛。在这种情况下，分解和互联方法必须在一个本征求解器中使用。
(19）中的级数极限是光学仿真问题的解。一个合适的截断可以用于近似解。很明显，连续的被加数可以通过一个更新后的公式进行计算。这种方法会导致一个所谓的光路树算法，我们将在下一部分讨论。为了进行求和计算，必须求解局部麦克斯韦问题以评估算子C和P。只要使用场矢量V的耦合确定了，任意严格或是近似的求解器的都能使用。这种方法称之为场追迹，我们将在第四部分进行讨论。

3. 光路树

此部分我们将讨论如何有效地对方程（19）进行求解。为了避免重复相同的操作，我们将使用更新的公式。通过对无穷和进行截至，我们定义了一个迭代过程。第k次迭代的定义为

我们引入了一个辅助变量

。然后，通过定义初始条件

我们获得了如下的更新公式

给予一个阈值δ，一个合适的终止判据可由此定义

其中rk是更新的的相对功率：

即使，为了求解矢量

，我们已经定义了一个迭代过程。在每一步迭代中，我们必须求解多组局部麦克斯韦问题：一种是对每个子域Ωj（应用算子C）；一种是对任意子域Ωi和Ωj（应用算子P）之间的每个自由空间区域。如果(18)成立，则结果将会收敛。我们将在第5部分给出了使用终止判据（25）获得的收敛结果。

事实证明更新公式（23）需要进行进一步的讨论。对某一行j 进行矩阵符号扩展，可以给出求和形式

每个被加项都代表一个谐波场。为了利用那些勇于有效的构建子域求解器的场的局部特性，可取的的方法是不进行求和计算，而是在后续进行计算中操作单项被加数。

上述情况促使我们开发了光路树。这个算法能够考虑迭代矢量的稀疏性。这种稀疏性常见于光学模拟。实际上，这似乎有以下原因：（1）只有单个光源存在，（2）光沿一个路径传播通过元件（例如，在显微镜中经过一系列透镜），（3）仅仅在表示探测器的一个（或者一些）平面上计算结果（例如，一个相机）。在[12]中已经讨论了序列场追迹（其中命名为“对流单邻近似”），对一个包含初始（光源）到终止（探测器）光路系统，它生成一个非零输入的。这里，我们将这种方法推广到一般情况，我们也称之为非序列场追迹。

举一个简单的例子，我们来讨论光路树的结构，这个例子是一个包含了一个光源、两个平板和一个用于计算光场的探测器的光学系统。装置如图3所示。

图3.包含一个光源，两个平板和一个探测器的光学系统的例子。箭头表示的是求和中的单个被加项，级次代表了计算截断求和的迭代步数。

非序列光场追迹（中）

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