第三章 (光学)规则与非球面（译）

崔炫俊献 · 发表于 2023-2-28 08:43:32

Introduction to lens design with ZEMAX 的第三章翻译
作者:Joseph M.Geary
<hr/>第三章 (光学)规则与非球面（译）
3.1 引言
上一章我们学习了ZEMAX软件的设置与操作，这一章开始使用它。依据本章3.6节里的问题，我们将使用第一次家庭作业的单透镜例子，进行一系列的练习。练习内容涉及到通过透镜弯曲（光焦度不变下的）减小球差、使用非球面将球差减小到零等内容。本章其它节的内容则主要提供相关背景材料，方便进行本章ZEMAX软件的练习。
3.2 符号规则
ZEMAX软件及光学计算中我们遵循一套符号规则，图3.1给出了此符号规则的说明。
对照图3.1，具体符号规则如下：

面形曲率半径R，或者面形曲率C，曲率中心在面形顶点右侧为正，左侧未负。
透镜或系统的前后主平面，前主平面在第一面顶点的右侧，为正，后主平面在第二面顶点的左侧，为负。
有效焦距从后主平面测量，为正，前焦点为负。
物距，以前主平面为测量平面，为负；像距，以后主平面为测量平面，为正。
光线角度，逆时针为正，顺时针为负。

图3.1 符号规则示意图
3.3 形状因子
图3.2给出5种透镜，这些透镜都具有相同的焦距（或者说有相同的光焦度），但是5种透镜却有不同的形状。透镜的形状可以通过定义一个形状因子来表示，如下所示：

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按照上面的形状因子公式，双凸透镜的形状因子为0，平凸透镜的形状因子为-1，凸屏透镜的形状因子为+1。在本章后面的练习中我们会发现，随着透镜形状的改变，透镜的球差也会相应跟着改变。同时，主平面也会随着透镜形状变化而发生位置移动。

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图3.2 不同形状因子的单透镜
3.4 面形矢高
如图3.3所示，光学面形的一个重要特征是面形矢高。在光学车间，通过测量矢高来验证面形的表面曲率。矢高在非球面部分同样有论述与讨论。

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图3.3 面形矢高示意图
面形矢高的定义如下：

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通过一个方便的多项式处理，重写式3.2如下：

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利用二项式定理展开3.3式并保留第一项，得到式3.4如下：

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式3.5是球面矢高的抛物线逼近。
3.5 非球面
目前为止，课程中的光学表面都是球面或平面，这里我们进入非球面的领域。非球面在光学系统有非常大的作用。例如几乎所有的太空望远镜都至少有一个非球面，或者在主镜上或者在次镜上。甚至大多数情况下，两个表面都是非球面。实际生活中，柯达Disc的光学头使用了注塑光学元件，其中包含有好几片非球面。非球面的主要作用是减小球差，但是设计师仍旧喜欢使用球面而不是非球面，因为球面加工检测方便，而非球面加工检测都较为困难，导致使用非球面需要付出更多的加工时间并采用更多的检测方法，造成成本增加。
基于以上原因，非球面的使用有如下限制：
1.除了非球面没有别的可替代方法；
2.经过仔细研究确认，长期来看，使用非球面有利于减小成本。
最后强调，使用非球面不改变光学系统的一阶属性，所有近轴数据和之前球面时候一样。

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图3.4 球面的坐标移动
球面通过增加二次项常数修改为非球面。我们将从标准球面表达式通过几何光学推导出非球面表达式。
考虑如图3.4所示的图。左边我们有一个原点在球心的圆，圆的公式坐标如下所示：

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现在，我们如右图所示移动坐标系，坐标系统的原点和光学表面的顶点重合，此时圆的公式如下所示：

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我们感兴趣的是图3.4中右边发黑标注的部分，该部分靠近顶点并通过顶点。
二次曲面的描述方程如下所示：

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上式中，P = 1 + K， K=-e^2，其中e是离心率。其中e^2 = (a^2 - b^2)/a^2，a是圆锥曲线的长轴，b是圆锥曲线的短轴。二次项系数有些作者定义为P，有些作者定义为K。所以在使用非球面时一定要和相关工程人员仔细沟通核实二次项系数的定义。本文中使用和ZEMAX一样的K定义。
我们使用二次方程的求解公式得到式3.8的z表示式 (其中a = P；b = -2R；c = y^2)，如式3.9所示。

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图3.5 不同的二次曲面示意图

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然后根据图3.4所示的右图，当y趋于0时z趋于0，根据此实际情况选择Z，有下面的公式。

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简单变换推导如下：

图3.6 双曲面的焦点示意图

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使用二项式定理将上面的平方根进行展开，并将Za代替z，有下面公式：

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注意到第一项是上面推导出的式3.5所示的球面矢高逼近，高阶项代表的是二次项偏移。不同的二次曲面和二次项系数之间的关系参见图3.5，并整理于表3.1中。

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图3.7 卡塞格林望远镜面形关系光路图
遥远距离处的物体(比如星星)，通过一个球面镜成像后，会有球差，导致像的细节退化。但是抛物镜对于无穷远目标成像没有球差，所以成像锐利。在经典的卡塞格林望远镜中，主镜是抛物面，次镜是双曲面。双曲面有两个焦点，如图3.6所示，一束射向双曲面反射镜背面焦点的光线，将会反射后相交于镜面前面焦点。在卡塞格林系统中，抛物线的焦点和双曲面的前焦点重合，如图3.7所示。
3.6 与球面的偏离
设计师在镜头设计过程中必须考虑可加工性和可测量性。一个镜头设计到衍射极限不是设计的终点，它可能被证明装调和测试为困难或不可能。所以满足设计指标不是一个好设计的唯一判据。因此，当设计中采用非球面时，非球面的可加工性和可检测性一定要重点关注，同时也要考虑成本和时间的增加。
当和光学车间工程人员沟通非球面时，要准备好提供非球面相对于全孔径球面的偏移。如图3.8所示。

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图3.8 非曲面相对于球面的偏移
公式3.7给出球面的数学描述，通过公式修正，可以得到非球面的数学描述，具体可以快速的将式3.12通过设置P=1得到。
式3.13给出的是非球面的数学描述：

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公式3.13和公式3.12之间的差异是非球面相对于球面的差异，值得重点关注。

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作为一个例子，我们计算一个焦距为31.25cm的抛物面的偏移。这意味着式3.15中的参数值为：P = 0; y = 12.5 cm; R = 62.5 cm。计算3.15式的前两项如下：

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这个非球面与球面偏移的公式有重要的应用，可以通过设计一个零检测透镜在抛物面的曲率中心进行抛物面面形干涉检测。
3.7 作业
本章练习包含11部分，目的是通过练习增加一些使用ZEMAX进行设计和分析的初始经验。
内容相对简单，不在贴出。可以参阅本专栏中的ZEMAX光学设计入门进行软件基本操作学习。
<hr/>翻译：王庆丰
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