这篇文章来聊聊光学设计~
光学设计的本质就是将光学系统根据我们的要求来进行一定的设计，以此来更好的获得目标信息。我们的要求一般分为两个方面，一是光学特性，如焦距、物距、像距、放大率、入瞳位置等，二是成像质量，如清晰度、控制物像变化等。在满足了我们的设计要求后，我们也通常会有两个方面来评价我们的设计结果，一是通过物理光学的方法，比如点扩散函数，相对中心光强，光学传递函数等；另一种是通过几何光学的方法，比如几何像差，波像差，点列图等。
我在这篇科普文章将和大家详细讨论下有关于光学设计的概念以及Zemax中的一些设计操作，参考视频课程为北京理工大学李林老师的光学系统设计与工艺和浙江大学李晓彤老师的《几何光学和光学设计》。同时声明本文只用作于科普，严禁以商业用途的转载。
<hr/>一、光学系统像质评价
要想了解光学设计，首先就要知晓有关像差的基本知识。
我们先讨论下色差，在认识色差之前，我们引入色散和中部色散的概念。色散代表着某一种介质对两种不同颜色光线的折射率之差 n_{\lambda_1}-n_{\lambda_2} ；中部色散代表某一种介质对F光和C光的折射率之差 n_F-n_C 。我们需要记住三种光的波长，分别是汞灯F光486.13nm，氢灯C光656.28nm，钠灯D光589.3nm。色差指的是不同颜色像点沿着光轴方向的位置之差，即轴向色差。
通常采用C光、F光的像平面间距表示轴向色差，即 \Delta l_{FC}^{&#39;}=l_{F}^{&#39;}-l_{C}^{&#39;} 。当系统存在色差时，那么成像结果就会带有不同色泽的弥散，如下图所示：
除了轴向色差，还存在有一种垂轴色差，即不同颜色像大小对应之差。
一般地，我们也用C光和F光在同一基准像面的像高之差表示\Delta y_{FC}^{&#39;}=y_{ZF}^{&#39;}-y_{ZC}^{&#39;} 。
那么对于色差的消除，有三种方式：
- 采用不同色散、不同折射率玻璃的组合；
- 采用折衍混合的技术；
- 采用反射镜（最有效，因为反射镜没有波长选择性）
那么对于单一波长的光源，我们来看一下单色像差。单色像差的形成在于近轴光线追迹时候的理想结果与实际结果的差值，特别是在非近轴情况下，三次幂以上项不能忽略。球面系统不能理想成像，这就会出现单色像差。一般单色像差可以分为5种：球差spherical aberration，慧差（正弦差）coma，像散astigmatism，场曲curvature of field，畸变distortion。
首先考虑球差，球差是不同孔径光线对理想像点的位置之差。
其表示形式为 \delta L=L&#39;-l&#39; ， L&#39; 表示大口径边缘光线对系统最后一面的距离， l&#39; 表示近轴（理想）像点位置。所以在存在球差的情况下，在任何地方我们都无法找到清晰的像点，会产生一个弥散斑。但是不同像空间位置存在不同大小的弥散斑。其最小位置被我们称为最小弥散斑。在这样的光学系统中，我们就可以将探测器放于最小弥散斑处，使得该点捕获的成像效果最好，当然这里指的是系统仅仅有球差的情况，实际情况中存在多种像差以及轴外点多方面因素，不能简单仅仅考虑球差的问题。
对于球差的矫正，在这里给出几种方法：
- 加光阑，其本质就是减少边缘光学的入射，尽量只取近轴光以消除球差的存在，当然要注意的是，加入了光阑就意味着通光量减少，那么会影响光学系统的相对孔径，而一般来说F数是不会发生变化的，那么此时需要重新考虑光学系统的设计；
- 使用复合透镜，如正负透镜组合、球面曲率及折射率的配合等；
- 使用非球面透镜，相当于改变了不同地方的曲率半径，让不同高度的入射光线汇聚于一点；
- 使用变折射率透镜（中间折射率增大），相当于通过不同折射率改变了光的轨迹使其汇聚于一点，但这种情况相对难以操作（精度难以操作），一般我们不考虑这种方法。
之后来看一下轴外像差。我们首先看一下两个平面的定义。
子午面：主光线和光轴决定的平面；弧矢面：过主光线和子午面垂直的平面。
先来看看子午像差，子午光线对 BM^{+} 和 BM^{-} 相交于 B_{T^{&#39;}} ，此时子午光线对的交点到主光线的距离 K_{T}^{&#39;} ，这被称作子午慧差。
显然，子午慧差与我们子午光线对的选取是有一定关系的，即口径的大小。我们对口径大小的选取，通常是±1，±0.85，±0.7071，±0.5，±0.3倍的半宽孔径hm。同样，对于视场角也有同样的要求，即±1，±0.85，±0.7071，±0.5，±0.3倍的视场w。那么对于更加广义的彗差的概念为靠近光轴的物点发出的大孔径光线不能聚焦于一点，其形成的弥散斑非常像彗星，于是取名为彗差。
彗差的校正方式为：
- 加光阑，改变口径大小；
- 使用复合透镜；
- 使用非球面透镜；这里引入一个概念——不晕点，即同时消除彗差和球差的一对物像共轭点，使用非球面透镜可以做到
当我们的视场逐渐减少的时候，彗差会变得非常的小，但其对成像质量的影响依然很大。于是我们将彗差和像高的比值定义为正弦差，即 SC&#39;=\lim_{y \rightarrow 0}{\frac{K_{s}^{&#39;}}{y&#39;}} 。
除了子午彗差，子午光线对的交点到理想像面的距离为 X_{T}^{&#39;} ，为子午场曲。其对口径和视场角的要求同子午彗差。如果存在场曲的情况下，像面就不在是一个平面，而是曲面。
我们要是希望得到清晰的像，可以将屏幕做成曲面，即：
此时我们固定视场，减少两个子午光线之间的距离，以此无限接近于主光线，那么此时引起的场曲被称为细光束子午场曲 x_{t}^{&#39;} 。对于宽光束子午场曲和细光束子午场曲的差值被称作轴外子午球差 \delta L_{T}^{&#39;}=X_{T}^{&#39;}-x_{t}^{&#39;} ，其选取口径和视场的原则与上面一样。
同理，我们针对弧矢面可以类比子午面来理解弧矢像差。引出弧矢场曲，即弧矢光线对交点到理想像面的距离 X_{S}^{&#39;} ；引出弧矢慧差，即弧矢光线对交点到主光线的距离 K_{S}^{&#39;} ，其孔径选取为±1，±0.85，±0.7071，±0.5，±0.3倍的半宽孔径hm，其视场角选取为±1，±0.85，±0.7071，±0.5，±0.3倍的视场w。引入细光束弧矢场曲，即弧矢细光线对交点到理想像面的距离 x_{s}^{&#39;} ；引入轴外弧矢球差，即弧矢宽光束交点到细光束交点的距离 \delta L_{S}^{&#39;}=X_{S}^{&#39;}-x_{s}^{&#39;} 。其孔径选取和视场的选择同上。
一般来讲，弧矢彗差大约是子午彗差大小的三分之一。同时弧矢细光束对的交点与子午细光束对的交点也存在着差异，我们称之为细光束像散。扩展到一般定义的像散为轴外物点发出的同心光束，水平方向和竖直方向的光线的聚焦点在不同平面上 x_{ts}^{&#39;}=x_{t}^{&#39;}-x_{s}^{&#39;} 。
在实际实验中，我们可以观测到，下面是不同大小的像散。
我们再定义一个像差为平均场曲 x&#39;=\frac{x_{t}^{&#39;}+x_{s}^{&#39;}}{2} ，该场曲为细光束子午场曲和细光束弧矢场曲的平均值。校正像散和场曲的方式也为：
最后引入最后一种像差，畸变指的是成像光束的主光线的实际像高和理想像高之差 \delta y_{z}^{&#39;}=y_{z}^{&#39;}-y_{0}^{&#39;}
实际像的大小与理想像的大小不同，畸变不影响像的清晰程度，只影响像的变形。如果实际像高小于理想像高为桶形（广角）畸变，如果实际像高大于理想像高则为鞍形（枕形）畸变，畸变和视场的三次方成正比的。我们可以利用光阑来消除畸变，如下图所示
聊了这么多类型的像差，在我们实际应用中，很遗憾的是由于其量纲的不同，我们很难将所有像差融合成为一种数学表达式。为了实际中更为方便的操作，我们全部注意到像平面上来定义一个垂轴像差，即实际光线在理想像平面的交点与主光线在理想像平面交点的距离之差，分别为午垂轴像差和弧矢垂轴像差，分别如下：
除了上述初级像差之外，我们也会遇到高级像差。在像差理论研究中，我们把像差与 y,h 的关系用幂级数形式表示，最低次幂对应的像差称为初级像差，而较高次幂对应的像差称为高级像差。高级像差包括：剩余球差，子午视场高级球差，弧矢视场高级球差，全视场0.7071孔径剩余子午彗差，全孔径0.7071视场剩余子午彗差，剩余细光束子午场曲，剩余细光束弧矢场曲，色球差，剩余垂轴色差等。
一个系统在像差校正完成以后，成像质量的好坏就在于其高级像差的大小。像差校正完成以后，如果各种高级像差能够合理平衡或匹配，则成像质量会有所提高。因此，在像差校正的后期，初级像差已经校正的情况下，为了使系统的成像质量更好，就要求对高级像差进行平衡。
羡慕我们看一下像差曲线。
第一个像差曲线就是球差曲线，我们用横轴表示球差，用竖轴表示（归一化）口径。我们把中心谱线D光，以及两种消色差谱线的球差全都做到了同一个图上。我们首先可以看出来三种消色差谱线的球差大小，其次我们可以看出来两种消色差谱线的差异，这个差异就是垂轴色差，同时我们还可以看得出二级光谱色差，也就是两种消色差谱线的平均值到D光谱线的距离。
第一个像差曲线就是正弦差曲线，我们用横轴表示球差，用竖轴表示（归一化）口径。我们可以看得出正弦差随时口径大小变化的趋势。
第三个像差是细光束子午场曲和细光束弧矢场曲的曲线。我们用t表示子午曲线，s表示弧矢曲线。从这个图中我们可以看出细光束像散的大小，这两条曲线横轴上的差异就是我们系统的像散。交点处就代表细光束像散为零。
第四种像差曲线是畸变，同样，横轴表示畸变，竖轴表示视场，随着视场变化，我们可以看出畸变的变换趋势。
最后一个是垂轴色差的曲线，横轴是垂轴色差，竖轴是视场。
我们观察像差曲线就看曲线与横轴所包括的面积即为像差大小。除了这些单项独立的几何像差以外，我们还可以做出垂轴像差曲线，其横轴代表着口径，纵轴表示垂轴像差。当曲线与横轴重合的时候，代表没有像差。
垂轴像差曲线与几何像差的关系为：将子午光线对a,b连成一条直线，该直线的斜率与宽光束子午场曲成比例。当孔径改变时，连线的斜率也变化，表示随口径变化的规律。在原点处的切线斜率正比于细光束子午场曲。子午光线对连线斜率与过原点处切线斜率的夹角正比于宽光束子午球差。某对子午光线对连线和纵坐标的交点D到原点的距离，就是该口径对应的子午彗差，交点高度越高，其彗差越大。
在垂轴像差曲线中，最大弥散范围还不足以全面反映系统的成像质量，还要看光能是否集中。下图中左图效果更好，只有大口径的时候才会有离散的情况。
对像差比较小的光学系统，波像差比几何像差更能反映系统的成像质量，所以我们此时引入波像差的概念。波像差是实际波面和理想波面之间的光程差。
对于波像差来说，我们是以波长作为单位了。当波像差小于1/4波长的时候，代表光学系统的具有较好的成像质量。不过在一些精密仪器中，我们所用的可能是1/8波长，1/12波长，1/20波长等更为精确的标准。
除了波像差角度，我们还可以利用分辨率进行光学系统的检测。理想光学系统的分辨率的定义为在完全没有像差的情况下，成像符合理想的光学系统所能分辨的最小间隔。通常把衍射光斑中央亮斑作为物点通过理想光学系统的衍射像：
中央亮斑直径： 2R=\frac{1.22\lambda}{n&#39;sinU_{max}^{&#39;}}
由于衍射像有一定大小，如果两个像点之间距离太短，就无法分辨两个像点，我们把两个衍射像点之间所能分辨的最小间隔称为理想光学系统的衍射分辨率，如下图所示：
这里就引出了我们的瑞丽判据：两像点间能够分辨最短距离约等于中央亮斑半径。
理想光学系统衍射分辨率公式为：R=\frac{0.61\lambda}{n&#39;sinU_{max}^{&#39;}}
同时有对比度为： K=\frac{E_{max}-E_{min}}{E_{max}+E_{min}} ，在瑞丽判据中，其对比度为26%。
对于各个光学系统而言，其分辨率的表达可以做简单的变换。
望远镜分辨率用能分辨开两物点对物镜张角 \alpha 表示，其中 \alpha=\frac{0.61}{n&#39;sinU_{max}^{&#39;}}=\frac{1.22\lambda}{D} ；测量其分辨率的装置如下：
照相系统分辨率用平面上每毫米能分辨开的线对数N表示，其中 N=\frac{1}{R}=\frac{D}{1.22\lambda f&#39;}=\frac{1}{1.22\lambda F} ，F是光圈数量。测量其分辨率的装置如下：
最后一个常见光学系统是显微镜，用物平面上刚能分辨开的两个物体间的最短距离用 \sigma 表示，理想分辨率公式是显微镜物镜像平面上刚被分开的两个像点之间最短距离，则有 \sigma=\frac{0.61\lambda}{n\mu}=\frac{0.61\lambda}{NA} ， NA 为数值孔径。
对光学系统设计者来说，设计阶段无法计算出系统预期能达到的分辨率，只能计算出几何像差或波像差，像差越小，系统预期分辨率越高；但它们之间没有简单的数学关系，只能靠多次测试和调试来达到要求。即便分辨率满足要求，也不能充分放映系统的成像质量，它反应的仅仅是系统能分辨的极限空间频率，并不能分辨所有对比度和相位关系，所以通过分辨率来对系统进行调整是非常困难的，我们需要采用新的方法来解决这个问题。
光学传递函数是目前公认最能充分反应系统成像质量的评价指标，其能够反应系统光学系统衍射与像差所引起的综合效应，可以根据光学系统结构参数来进行直接计算，并且设计阶段就可以准备地预计到制造出来的光学系统的成像质量了。在这里需要用到很多傅里叶光学的相关知识，我们具体的不展开仅仅讲几个关键的点，具体可看到下面这个专栏。
一般的成像过程是将物面分解成无数个物点，分别通过系统成无数个像点，即 \delta 函数，然后在像面上合成，就得到了像。那么在傅里叶光学的角度，就是将物面的光强度分解成频率，振幅和相位不同的余弦函数，分别通过光学系统以后，这些分布仍然是余弦函数，只是初相位和振幅发生了变化，再将这些余弦函数合成，即可得到像的分布。我们把振幅和空间频率的关系称为振幅频率函数，初相位和空间频率的关系称为相位频谱函数。周期函数的频谱函数只是若干个不连续的离散点，非周期函数的振幅频谱函数和相位频谱是连续函数。
对于光学传递函数，我们的光学系统就必须满足两点要求，第一是光学系统必须是线性系统，第二是空间不变系统。如果光学系统使用非相干的单色光照明，近似为一线性系统，对于绝大多数光学系统，成像质量随着物高的变化是比较小的，在一定范围内可以看作是空间不变系统。
线性系统的定义为：
若 f_i\left( x \right)\rightarrow f_{i}^{&#39;}\left( x \right) ，则 \sum{a_if_i(x)}=\sum{a_if_{i}^{&#39;}(x)}
空间不变系统的定义为：
若 f_i\left( x \right)\rightarrow f_{i}^{&#39;}\left( x \right) ，则 f_i\left( x+a \right)\rightarrow f_{i}^{&#39;}\left( x+a \right)
光学系统的影响就是振幅和相位的变换，假如物平面输入余弦基元的表达式为：I\left( y \right)=1+acos\left( 2\pi\mu y \right)
那么像平面对应输出的余弦基元为： I\left( y&#39; \right)=1+a&#39;cos(2\pi u&#39;y&#39;+\theta)
通过计算对比度我们发现，物平面的对比度 K=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\frac{2a}{2}=a 为物平面的振幅，而像平面的对比对为 K&#39;=\frac{I&#39;_{max}-I&#39;_{min}}{I&#39;_{max}+I&#39;_{min}}=\frac{2a&#39;}{2}=a&#39; 为像平面的振幅。
像平面和物平面对比度之比（振幅）称为振幅传递函数 MTF\left( \mu \right)=\frac{a&#39;}{a} ；
像平面和物平面初相位之差称为相位传递函数 PTF\left( \mu \right)=\theta_\mu ；
二者统称为光学传递函数，表示为 OTF\left( \mu \right)=MTF\left( \mu \right)e^{iPTF\left( \mu \right)}
对于两个系统构成的组合系统，振幅传递函数为两个系统的乘积： MTF\left( \mu \right)=MTF\left( \mu_1 \right)\cdot MTF\left( \mu_2 \right)
已知光学系统对指定共轭面的光学传递函数，这一对共轭面的成像性质就完全确定了。把像面余弦基元合成以后就是要求的像面图形。对于理想的振幅传递函数为：
对于上述图像，我们可知：即使是理想无像差光学系统，也并不是对任何频率都可以成像。当超越截止频率后，就无法传播信息。所以即使是理想情况，光学系统仍然是个高频滤波系统（低通滤波器）。当然，截止频率越高自然是越好，在波长固定的情况下，我们要想办法增大 F 数。
其他做像质评价的方式比如像点弥散图，光在理想情况下是一个点，光在实际情况下为一个弥散图形。通过弥散图形的大小和形状来判断系统成像系统的好坏
还有一个像质评价的方式是包围圆能量，以像面上主光线或中心光线为中心，以离开此点的距离为半径做圆，以落入此圆的能量和总能量的比值来表示。比如下图所示，可以看到系统的成像质量是非常好的。
二、光学自动设计数学模型以及Zemax简介
光学设计问题从数学角度来看，就是建立和求解这个像差方程组，也就是根据系统要求的像差值 F_1,F_2,...,F_m ，从上述方程组中找出解 x_1,x_2,...,x_n ，即我们要求的结构参数。实际中，找不出函数的具体形式，只能在给出系统结构参数的条件下，用数值计算的方法求出对应的函数值。在以前的设计方法是首先选定一个原始系统，按要求的光学特性，计算出系统的各个像差值。如果像差不满足要求，则依靠设计者的经验和像差理论知识，对系统的部分结构参数进行修改，然后重新计算像差，这样不断反复，直到像差值符合要求为止。原始系统可以查阅之前的资料来进行设计。
利用数学模型，光学自动设计模型可表示为：
f_1\left( x_1,...,x_n \right)=F_1, ..., f_m\left( x_1,...,x_n \right)=F_m ，
把像差和结构参数之间的函数关系，近似用线性方程式来代替 F=F_0+\frac{\partial f}{\partial x_1}\left( x_1-x_{01} \right)+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\left( x_n-x_{0n} \right) ，
F_0 为原始系统的像差值， x_{01},...,x_{0n} 为原始系统的结构参数， F 为像差的目标值。 \frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n} 为像差对各个自变量的一阶偏导数。该偏导数可以用差商来近似代替。
把原始系统的某个结构参数改变一个微小增量，使 x=x_o+\delta x ，重新计算像差值得到相应的像差增量 \delta f=F-F_0 。用像差对该自变量的差商代替微分，就可以得到一个像差和自变量之间的线性方程组，即 F_1=F_{01}+\frac{\delta f_1}{\delta x_1}\Delta x_1+...+\frac{\delta f_1}{\delta x_n}\Delta x_n,......,F_m=F_{0m}+\frac{\delta f_1}{\delta x_1}\Delta x_1+...+\frac{\delta f_m}{\delta x_n}\Delta x_n ，
即 A\Delta x=\Delta F ，
按照 \Delta x_p=\Delta x\cdot p 对原系统进行修改，当 p 足够小时，总可以获得一个比原系统有所改善的新系统。
把新得到的系统作为新的原始系统，重新建立像差线性方程组进行求解。这样不断迭代，直到各种像差符合要求为止，这就是光学自动设计数学模型。求解出的结果为 \Delta x=A^T\left( AA^T \right)^{-1}\Delta F ，具体求解过程可分为适应法和阻尼最小二乘法，具体数学推导过程不再详细赘述。
在没有出现计算机之前，我们通过多次追迹光线来校正像差和修改结构参数，下面我们来简单介绍下我们光学设计主要使用的软件Zemax，Zemax软件主要的功能为下面几个方面：
- 光源及光学系统建模
- 像质分析和评价
- 优化设计
- 公差分析
- 结果数据、图形报表输出
- 数据库：玻璃库、镜头库、样板库
- 顺序追迹与非顺序光学追迹
Zemax建模遵循右手坐标系，即以光轴为Z轴，X轴正方向指向显示器以里，Y轴垂直向上。其他符号规则如下：
Thickness：沿+z方向(从左到右)为正，反之为负。
Ray angle：从光轴开始逆时针为正，反之为负。
Radius：曲率中心在面的顶点右边，则曲率半径为正；反之为负。
Zemax采用光线追迹来模拟折射、反射、衍射、偏振等光线传播现象，三种光线追迹模式：序列(Sequential)、非序列(Non-sequential)、混合(Mixed sequential/Non-sequential)。
以surface光学面为对象来构建光学系统模型、每一表面的位置由它相对于前一表面的座标来确定。光线从物平面开始,按照表面的先后顺序(Surface，0，1，2，……-)进行追迹，对每个面只计算一次。其计算速度快、花费时间短，主要用于传统的成像系统设计，如照相系统、望远系统、显微系统等。
许多复杂的棱镜系统、照明系统、微反射镜、导光管、非成像系统或复杂形状的物体需采用非序列模式来进行系统建模；在需考虑散射和杂散光的情况下，也不能采用序列光线追迹；以object（物体）为对象构建光学系统模型；光线按照物理规则，沿着自然可实现的路径进行追迹，可以按任意顺序入射到任意一组物体上，也可以重复入射到同一物体上，直到被物体拦截。对同一元件，可同时进行穿透、反射、吸收及散射的特性计算；计算时每一物体的位置由全局坐标确定；需模拟计算大量光线，计算量大，花费时间长；结果更接近实际情况。
- 混合(Mixed sequential/Non-sequential)
在一些较为复杂的光学系统中，可以使用混合序列和非序列Mixed光线追迹。可在序列光学表面中插入任意形状、方向或位置的非序列组件进行结合,共同形成一个系统结构。
光学自动设计流程如下：
下面我们来简单学习下Zemax软件：
主窗口：
我们需要在主窗口中执行不同内容，是我们用的最多的界面。
编辑界面：
图形窗口：
文本窗口以及对话框：
Zemax是集成像光学和照明设计于一体，其完整的光学设计流程为：
- 光学系统建模
- 光线追迹计算
- 像差分析
- 自动优化
- 公差分析
- 其它辅助功能
下面我们重点就光学自动设计来对Zemax的功能进行讨论，对于光学系统建模，我们有：
(1) 列表式输入界面，可以方便地进行光源和光学系统的设定；
(2) 设置光源：点光源，椭球体，圆柱，激光二极管，白炽灯…...，单色/复色光源；
(3) 多种面型建立光学系统；
(4) 支持用户自定义；
(5) 光学系统建模过程中，可以借助外形图(二维/三维)进行适时调整。
在序列模式下其具体的使用方式为：首先进行系统特性参数的输入，如孔径、波长、视场，这三个参数都是在System下面设置。
之后就是输入结构，也就是在Lens Data Editors中输入：
我们对光学系统进行了建模之后，接下来就是像质计算分析，Zemax中提供了一个Analysis模块，里面包括了大量像质计算方法，如光线扇形图，点列图，波像差，几个像差，MTF，PSF，偏振镀膜，像面照度，衍射像等。
其分析图样为：
在检验了像质之后，我们就要进行最重要的自动优化设计。
Zemax能对具有一个合理起点的光学系统进行优化，以满足光学系统光学特性和像差的要求，并优化中自动改变的变量可以是光学系统的曲率、厚度、玻璃、二次曲面系数及其它附加参数和多重结构数据等，并通过构造评价函数，根据计算结果判断系统是否满足目标。其评价函数为： MF^{2}=\frac{\sum{W_i\left( T_i-V_i \right)^2}}{\sum{W_i}} ，其中 W_i 是各操作数权重， T_i 为操作数目标值， V_i 为操作数当前值。我们对系统设定的约束条件或目标值统称为操作数Operand，包括光学特性参数、像差参数、边界条件等多方面的要求。具体算法是阻尼最小二乘法、正交下降法（主要用于非序列）。评价函数越小，系统越接近于设定标准，理想状态下评价函数应为0。
具体在Zemax中自动优化的步骤为：首先设置评价函数，打开Editors下面的Merit Function：
之后找到里面的Design（有点版本是tools）：
得到了下面这个界面：
在这个界面中，我们可以对下面多个地方进行设置：
在设置结束后，我们的Merit Function编辑器中会对所有变量进行操作数和目标值的分配和确立。
接下来就是回到Lens Editor编辑器中，我们对自动优化设计中希望改变的参数进行变量的设置。就是在我们希望改变的参量后面通过CTRL+Z的方式去切换变量和固定值之间的状态。如果我们设置成了变了，那么在该个数据后面就会出现一个小写的v值，这表示其为一个变量。
在变量设置完成后，我们就可以执行优化了。在主窗口的Tools里面选择Optimization来选择优化功能。
当然这里需要强调的是，优化功能仅仅是一个有效的工具，我们不能完全依赖它将一个不合理的初始结构转化成一个合理的方案。最后我们就要进行公差分析，公差分析可以模拟在加工、装配过程中由于光学系统结构或其它参数的可能改变所引起的系统性能变化，从而为实际的生产提供指导；其可能改变的参数包括曲率、厚度、位置、折射率、阿贝数、非球面系数等结构参数以及表面或镜头组的倾斜、偏心，表面不规则度等—操作数。
其具体的操作步骤为：首先对公差数据进行设置，在编辑器里找到Tolerance Data，如下图。
之后在公差编辑器中可以调整多种公差如下图：
完成公差设置之后，就可以执行公差分析。我们在Tools下面直接选择Tolerancing：
在Zemax中提供了四种不同的公差计算模式：
给定结构参数的公差范围，计算每一个公差对评价标准的影响。
反向模式将根据评价标准的允许变化来计算公差操作数的最大值和最小值。
将产生一个对应于指定评价标准值的变化增量。
绕过灵敏度分析直接进行蒙特卡洛分析。
我们的公差分析结果为，列出所有操作数取最大和最小值时评价函数的计算值；对系统性能影响最大的参数；蒙特卡罗分析结果。
根据这一公差分析的结果，设计者可以结合实际的加工装配水平，对个参数的公差范围进行缩紧或放松。这样就可以让我们在设计阶段来考虑之后的实际加工阶段，很好的预测实际效果。
以上就是Zemax的一个大致使用过程。
三、薄透镜系统以及初级像差理论
我们接下来看一下薄透镜系统以及初级像差理论。
像差理论是对像差的性质和像差与光学系统结构参数的关系进行了长期的研究，取得了一些研究成果和规律。在像差理论中，最有价值的是初级像差理论（高阶量相对较少，所以可以忽略）。我们令口径为 h ，视场为 y 。则初级像差的表达式为：
- 初级球差 \partial L&#39;=a_1h^2
- 初级彗差 K_{S}^{&#39;}=a_2h^2 y
- 初级子午场曲 x_{t}^{&#39;}=a_3 y^2
- 初级弧矢场曲 x_{s}^{&#39;}=a_4 y^2
- 初级畸变 \delta y_{z}^{&#39;}=a_5 y^3
- 初级轴向色差 \Delta l_{FC}^{&#39;}=C_1
- 初级垂轴色差 \Delta y_{FC}^{&#39;}=C_2 y
下面我们先来看一下薄透镜组与薄透镜系统。一个透镜的厚度与其焦距相比可以忽略不计，则称之为薄透镜组。由若干个薄透镜组构成的系统，称为薄透镜系统（透镜组之间的间隔可以是任意的）。
薄透镜系统在初级像差范围内，可以建立像差和系统结构参数之间的直接函数关系。利用这种关系，可以全面、系统地讨论薄透镜系统和薄透镜组和初级像差性质。甚至可以根据系统的初级像差要求，直接求解出薄透镜组的结构参数。同时，厚透镜可以看作是由两个平凸或平凹的薄透镜加一块平行玻璃板构成。因此任何一个光学系统都可以看作是由一个薄透镜系统加若干平行玻璃板构成。
下面我们来讨论薄透镜的初级像差方程组，首先设置两条辅助线，第一条由轴上物点A发出，经过孔径边缘的光线AQ，第二条辅助光线是由视场边缘轴外点B发出经过孔径光阑中心O的光线BP，如下图：
每个透镜组对应的光焦度 \varphi , h , h_z ，都是已知的，我们称它们为透镜组的外部参数，它们和薄透镜组的具体结构无关。像差既和这些外部参数有关，当然也和透镜组的内部参数有关。薄透镜系统的初级像差方程组就是要把系统中各个薄透镜已知的外部参数和未知的内部参数与像差的关系分离开来，来讨论和简化像差和内部结构参数之间关系，下面给出薄透镜系统的初级像差方程组：
其中， n&#39;,u&#39; 为系统最后像空间的折射率和孔径角， J 是系统的拉赫不变量 J=nuy=n&#39;u&#39;y&#39; ，它们都是已知常数，每个透镜组的外部参数都是已知的。内部参数为 \mu,C,P,W 。
我们来逐一看这些参数， \mu=\sum{\frac{\varphi_i}{n_i}}/\varphi ；
\varphi 是该透镜组的总光焦度； \varphi_i 和 n_i 是透镜组中每个单透镜的光焦度和玻璃的折射率。对薄透镜组来说总光焦度等于各个单透镜光焦度之和，即 \varphi=\sum{\varphi_i} 。玻璃的折射率 n_i 变化不大，这样可以近似成为一个和薄透镜组结构无关的常熟。通常取 \mu=0.7 .
C 只和两种色差有关，称为“色差参数”，计算公式为 C=\sum{\frac{\varphi_i}{\nu_i}} .
\varphi_i 为该透镜组中每个单透镜的光焦度， \nu_i 为该透镜玻璃的阿贝数 \nu=\frac{n-1}{n_F-n_C} ，其中 n 为指定波长光线的折射率， \left( n_F-n_C \right) 为计算色差时所用的两种波长光线的折射率差，即色散，C 只与透镜组中各单透镜的光焦度和玻璃的色散有关，而和各单透镜的弯曲形状无关。
P,W 是单色像差参数，它们和透镜组中各个折射面的半径和介质的折射率有关。但无法把 P,W 表示 \left( r_i,n_i \right) 的函数，而用第一辅助光线通过每个折射面的角度来表示。
P=\Sigma\left( \frac{\Delta u_i}{\Delta \left( 1/n_i \right)} \right)^2\Delta\frac{u_i}{n_i};\kern{4pt}W=\Sigma\left( \frac{\Delta u_i}{\Delta \left( 1/n_i \right)} \right)\Delta\frac{u_i}{n_i}
\Delta u_i=u_{i}^{&#39;}-u_i ； \Delta\frac{1}{n}=\frac{1}{n_{i}^{&#39;}}-\frac{1}{n_i} ； \Delta\frac{u_i}{n_i}=\frac{u_{i}^{&#39;}}{n_{i}^{&#39;}}-\frac{u_i}{n_i}
\Sigma 是对该薄透镜组中每个折射面求和的结果。
除了内部参数和外部参数，还有第三种特性参数——细光束像散。
如果系统消除了像散，即 x_{ts}^{&#39;}=0 ，
此刻有
简化为
即
此时场曲为 Petzval 场曲，用 x_{p}^{&#39;} 来表示：
但如果 x_{ts}^{&#39;}\ne0 ，则可以得到：
所以 x_{t}^{&#39;},x_{s}^{&#39;},x_{p}^{&#39;},x_{ts}^{&#39;} 四者中只要确定任意两个，其他两个也就确定了。由于具有某些特殊性质，其他两个也就随之确定。可以将 x_{p}^{&#39;} , x_{ts}^{&#39;} 作为薄透镜系统的初级像差方程式。
在薄透镜系统的初级像差方程组中，右边分母上都有一个与透镜组内部结构无关的常数 n&#39;,u&#39; 组成的常数项。为了简化，可以将其移到等式左边，得到：
S_{I}...S_{V} 称为第一至第五像差和数， S_{IC}, S_{IIC} 称为第一和第二色差和数。我们在讨论像差和结构参数的关系的时候，直接应用这些像差和数的公式，它们和像差之间只相差一个常数因子。
下面我们来讨论下薄透镜组的普遍性质：
一般来说，一个薄透镜组只能校正两种初级单色像差。五个单色像差方程中，每个薄透镜组只出现两个像差特性参数 P,W ，不同结构的薄透镜组对应不同 P,W 值，它们是方程组中两个独立的自变量。利用这两个自变量，最多只能满足两个方程式，因此一个薄透镜组最多只能校正两种初级像差。此时，我们来看下光瞳位置 h_z 对像差的影响：
（1）球差与光瞳位置无关，即
（2）彗差与光瞳位置有关，但球差为零时，彗差与光瞳位置无关，即
如果球差为零，则 P=0 ，此时与光瞳位置无关。
（3）像散与光瞳位置有关。如果球差、彗差都等于零，则像散与光瞳位置无关，即
当球差和彗差均为零的时候，即 P=W=0 ，则此时像散与光瞳位置无关。
值得注意的是，当像差与光瞳位置无关的时候，那么我们在入瞳或光阑位置加入一个自变量来进行自动校正，那么实际上并没有增加系统的校正能力。
（4）光瞳与透镜组重合时，像散为一个透镜组结构无关的常数。
如果透镜组 h_z=0 ，则该透镜组的像散组为：
此时像散由薄透镜组的焦距 f&#39; 和像高 y&#39; 所决定，与透镜组的结构无关。
（5）当光瞳与薄透镜组重合时， h_z=0 ，畸变等于零。
（6）薄透镜组的 Petzval 场曲近似为一与结构无关的常量：
同时
\mu=0.7 ， x_{p}^{&#39;} 也应该是一个结构无关的常数。
（1）一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴色差：薄透镜组的两种色差，由唯一的色差参数 C 确定，当轴向色差等于零，则 C=0 ，垂轴色差也同时等于零。
（2）薄透镜组消色差必须使用两种不同 \nu 值的玻璃。薄透镜组消色差，必须满足 C=\sum\frac{\varphi_i}{\nu_i}=0
如果薄透镜组中各透镜用相同 \nu 值的玻璃，则可以直接认为光焦度等于零。光焦度为零的薄透镜组是不能成像的，没有实际意义，具有指定光焦度的消色差薄透镜组必须用两种不同值的玻璃构成。
（3）薄透镜组的消色差条件与物体位置无关。因为消色差条件 C=0 中不出现与物体位置有关的参数，一个薄透镜组对某一物平面消色差，则对任意物平面都消色差。
我们希望通过像差来求解内部参数，但这个过程过于复杂，于是我们需要对像差特性参数 P,W,C 进行归化，归化的目的就是为了方便计算。归化就是把对任意物距、焦距、入射高时的像差特性参数，在保持透镜组几何形状相似的条件下，转变成焦距等于1，入射高等于1，物平面位于无限远时的像差特性参数，如下图：
下面我们看几种类型的归化：
系统中的每个薄透镜组对应着不同的物距 l 、焦距 f&#39; 和入射高 h 。 u=h/l ，不同的 l 就相当于不同的 u 。
把透镜组的物距 l 、所有半径 r 以及光线的投射高度 h 按比例缩小（同除 f&#39; ），得到新的结构参数。新的透镜组焦距等于1，入射高度等于 h/f&#39;=h\varphi ，两透镜组内部各折射面上的角度都不会改变，此时 P,W 不变。若再把入射高 h\varphi 放大到等于1，则光线的所有角度将增加 1/h\varphi 倍。 P,W 将分别增加 1/\left( h\varphi \right)^3 和 1/\left( h\varphi \right)^2 倍。所以此时 h=f=1 时的像差特性参数和入射角用 \bar{P},\bar{W},\bar{u_1} 可以表示为：
此时，由 \bar{P},\bar{W}求出透镜组的结构参数，只要把它放大 f&#39; 倍就得到了要求的 f,h,P,W 时透镜的结构参数。
在 f=h=1 的归化条件下，物距 \bar{l} 对应第一辅助光线与光轴的夹角 \bar{u_1}=h/l=1/\bar{l} . \bar{P},\bar{W} 对物距的归化就是对 \bar{u_1} 进行归化，其物距由 \bar{u_1} 表示。
透镜结构参数不变而将物平面变到无限远，即 \bar{u_1}=0 时像差物性参数 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty} 的变化。
反之则有
C 只与透镜组中各单透镜的光焦度有关，而和 h,l 无关，只需对透镜组的焦距进行归化。如果把透镜组的焦距 f&#39; 归化为1，只要把每个单透镜的焦距都除以 f&#39; ，光焦度 \varphi 则乘以 f&#39; ，即 \bar{C}=C\cdot f&#39; .
把任意焦距、入射高和物距的透镜组的像差特性参数 P,W,C 归化成 f&#39;=h=1,\bar{u_i}=0 时的像差特性参数 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty},\bar{C} 求透镜参数结构参数的问题，也就能解决由 P,W,C 求透镜组结构参数的问题。
此时我们可以总结出一套薄透镜系统的求解通法：设计一个薄透镜系统，在完成外形尺寸计算后，根据对系统的像差要求，即可列出初级像差方程组，求解方程组得到对系统中每个薄透镜组的像差特性参数 P,W,C 的要求，经过归化，求出 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty},\bar{C} ，再求出每个透镜的结构参数。我们来看两个典型的薄透镜系统：
单透镜的色差参数最简单，在归化条件下透镜的光焦度 \varphi=1 ，此时 C=\sum{\frac{\varphi}{\nu}}，\bar{C}=\frac{1}{\nu} .
绝大多数光学玻璃阿贝数在25~70之间，不可能为零，单透镜不能消除消色差，只能选取色散较低的玻璃（阿贝数较大的玻璃）以减小色差，单色像差参数 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty} 除了与玻璃折射率 n 有关，还和透镜形状有关。采用一个新的参数来表示单透镜的形状： Q=c_2-1 ， c_1,c_2 分别为单透镜的第1面曲率和第2面曲率。在归化条件下单透镜的总光焦度等于1，即 \varphi=\left( n-1 \right)\left( c_1-c_2 \right)=1 .
单透镜的全部结构可以用 n,Q 代表。像差特性参数是这两个参数的函数，它们之间存在如下关系：
即
P_0,Q_0 只是折射率 n 的函数，其对应关系如下：
根据单透镜的结构参数求出它的各种初级像差；也可以根据像差的要求，找出它的结构参数。由于单透镜不能消色差，而且 P_0 值变化范围较小，大约在1.1~2.5之间，因此不能满足任意的 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty},\bar{C} 的要求，单透镜的应会受到限制。
除单透镜外，最简单的薄透镜组是双胶合透镜组，双胶合透镜组能满足任意的 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty},\bar{C} 的要求。
根据色差参数的公式，双胶合透镜组 \bar{C}=\sum{\frac{\varphi}{\nu}}=\frac{\varphi_1}{\nu_1}+\frac{\varphi_2}{\nu_2} ，在归化的条件下，透镜组总光焦度等于1，其中：
当透镜组所用的两种玻璃以及色差特性参数确定以后，就可以求出两个单透镜的光焦度。假定双胶合透镜组的三个球面曲率分别为 c_1,c_2,c_3 ，则根据
三个曲率中只要任意给定一个，就可以求出其他两个，透镜组的全部结构参数也就完全确定。双胶合透镜组的玻璃和确定后，只剩下一个代表透镜组弯曲形状的独立参数，取形状参数 Q=c_2-\varphi_1 以及
P_0,Q_0 的意义和单透镜相似，所不同的是这里 P_0 值由构成双胶合透镜组的两种玻璃的光学常数和色差参数决定。用现有光学玻璃进行组合， P_0 值可以在由正到负的很大范围内变化，而不像单透镜那样限制在1~2.5之内。根据 \bar{P_\infty},\bar{W_\infty} 求出相应的 P_0 值，一般来说双胶合透镜组总能找到合适的玻璃组合，使 P_0 值符合要求。
下面我们给出通过\bar{P_\infty},\bar{W_\infty},\bar{C}找出玻璃材料和求出结构参数：
（1）根据公式由\bar{P_\infty},\bar{W_\infty}求 P_0 ，即
（2）根据P_0和 \bar{C} ，查 P_0,Q_0 表得到 Q_0
（3）求 Q
前一个公式求出两个 Q 值，选取和下一个公式相近的一个解，然后求它们的平均值作为要求的 Q 值。
（4）由已经确定的玻璃光学常数和 \bar{C} 求两透镜光焦度f&#39;f&#39;f&#39;
（5）根据 Q,\varphi_1,\varphi_2 求半径
所求半径对应透镜组的焦距为1，如果所要设计的透镜组在没有归化以前的焦距为f&#39; ，则将求得的半径都乘以焦距 f&#39; ，才能得到实际要求的结构参数。
除了两种薄透镜系统，我们接下来讨论下平行平板玻璃的初级像差公式。
玻璃板的厚度为 d ，玻璃的折射率为 n ，阿贝数为 \nu ，第一辅助光线与光轴的夹角为 u ，第二辅助光线与光轴的夹角为 u_z 。我们来写出平行平板玻璃的初级像差公式：
平行平板玻璃的初级像差只和玻璃板厚度 d ，玻璃的光学常数 n,\nu 以及光束的孔径角 u ，视场角 u_z 有关，而和像面到玻璃板的距离无关。如果在同一空间内有相同材料的若干块玻璃板，则可以合成一块进行计算，它的厚度等于各块玻璃板厚度之和，而且玻璃板的位置可以任意给定。
我们最后来看一下消除场曲的条件—— Petzval 条件。
欲使光学系统的子午和弧矢焦面都和理想像面重合，即 x_{t}^{&#39;}=x_{s}^{&#39;}=0 ，系统必须满足的条件是：
我们要在像差方程组中找到满足上述条件的数学表达：
x_{ts}^{&#39;} 除了和光焦度 \varphi 有关外，与透镜内部结构参数 P,W 以及光阑位置 h_z ，物体位置 h 等有关，比较容易校正。
x_{p}^{&#39;}只和透镜光焦度 \varphi 以及透镜材料折射率 \mu=\frac{1}{n} 有关，是一种较难校正的像差。
光学系统消除场曲的条件是：
对厚透镜来说，可以看作是两个平凸或平凹的薄透镜加一块平行玻璃板构成。平行玻璃板的场曲等于0，因此对厚透镜来说， \varphi 相当于透镜厚度假定等于零时的光焦度,称为“相当薄透镜光焦度”。为了区别用符 \left[ \varphi \right] 代表“相当薄透镜光焦度”，消场曲条件为：
无论对薄透镜系统或厚透镜系统都能应用，对薄透镜系统来说 \left[ \varphi \right] 就是薄透镜的实际光焦度。光学系统消场曲条件也叫 Petzval 条件。
四、照相物镜设计
一般来说，我们学习光学设计应该掌握望远镜物镜设计、显微镜物镜设计、目镜设计以及照相物镜设计。在本文中，我们就来讨论下照相物镜的设计。
照相物镜的主要性能有三个：焦距 f&#39; 、相对孔径 D/f&#39; 、视场 2w ，照相物镜光学特性的最大特点是它们的变化范围很大。照相物镜的焦距短则只有几毫米，长则是以米为单位，其焦距大小决定了照片上的像和实际物体之间的比例 \beta=\frac{y&#39;}{y}=\frac{l&#39;}{l} ，对一般照相机来说，像平面靠近焦面， l&#39;\approx f&#39; 故有： \beta\approx\frac{f&#39;}{l} ；在物距 l 一定的情况下，欲得到大比例的照片，即要求 \beta 增加，则必须增加物镜的焦距 f&#39; 。
下面我们看下一个参数相对孔径，照相物镜的相对孔径主要影响像面照度。照相物镜像面的照度和相对孔径的平方成比例，公式为 E_{0}^{&#39;}=\frac{\pi}{4}\tau L\left( \frac{D}{f&#39;} \right)^2 ，其中 \tau 为相机镜头曝光率（定值）， L 为是物面的光亮度。为了满足景物较暗时摄影的需要，或者对了对高速运动物体摄影，要求采用很短的曝光时间，它们都要求提高像面的照度，因此就需要采用大相对孔径的物镜。
第三个参数是视场角，小的可能只有2~3°，大的可以达到140°，照相物镜的视场角决定了被摄景物的范围。不同的照相机画面的尺寸是一定的。无限远物体的理想像高公式： y&#39;=-f&#39;tanw ，当像高 y’ 一定，只要焦距确定，则视场角 w 也就随之确定了。物镜的焦距越短，视场角也就越大，短焦镜头，就是大视场的镜头；长焦距镜头就是小视场镜头。
焦距、相对孔径、视场角三个参数相互制约，在焦距相近的条件下视场大的相对孔径便小。如果要求在相对孔径不变的条件下增加视场角，或者在视场不变的条件下增大相对孔径，或者两者同时增大，都必须使系统的结构复杂化才可能办到。如果系统的焦距增加，那么相对孔径和视场角随之降低。
尽管照相物镜的结构形式很多，但是可以看成若干基本类型的基础上发展起来的。小视场和小孔径范围内光束的成像性质可以用初级像差来表示，照相物镜设计中校正初级像差是它必须首先满足的条件。设计时首先校正初级像差，然后再从能够校正初级像差的结构中找到高级像差小的结构；或者在校正了初级像差的基础上，用结构复杂化的方法进一步校正高级像差。照相物镜要求校正场曲，能够校正场曲的最简单的光学系统结构有两种：一种是正负透镜分离的薄透镜系统，另一种是弯月形厚透镜。照相物镜根据校正场曲的方法不同，分成两大类，一类是薄透镜系统，一类是厚透镜系统。薄透镜系统如下图所示：
这样做对于单色像差是没有任何问题的，我们来看一下色差。
轴向光线在正透镜上的投射高 h 正总要比负透镜上的投影高 h 负大，此时 \varphi_正\approx -\varphi_负 ，只要正透镜玻璃的色散小于负透镜，即 \nu_正>\nu_负 ，就有可能使 S_{ⅠS}=0 ，使系统满足校正初级轴向色差的要求。但是它们无法同时校正垂轴色差。根据色差和光阑位置的关系，当轴向色差为零时，垂轴色差即和光阑位置无关，因此假定光阑和第一透镜重合， h_{z1}=0 ，这样公式中的第一项为零，由于 h_2,h_{z2},\varphi_2,\nu_2 都不为零，因此 S_{ⅡS} 不可能为零，即系统无法校正垂轴色差。
为了同时消除两种色差，我们可以把两块单透镜用两个双胶合组代替。每个胶合组分别校正色差，整个系统也就同时校正了轴向色差和垂轴色差。每个薄透镜组可能构成两种单色像差，上述系统共有两个薄透镜组，可以校正四种单色像差，加上由光焦度分配已经满足的消场曲条件，上述系统有可能校正全部初级像差。
上图中表示的是两种基本类型的摄影物镜，前一种称为摄远物镜，后一种称为反摄远物镜。两种系统采用了每个透镜组分别消色差的方法，达到同时校正轴向色差和垂轴色差。
除了用双胶合组代替，我们在校正了轴向色差的基础上来校正垂轴色差。如下图所示：
对于一个光阑位于中央，左右两个半部结构完全对称，并且物像位置也对称的系统（即系统的垂轴放大率等于-1），左右两个半部的垂轴色差互相抵消，但是轴向色差互相叠加。尽管两个半部分别都有垂轴色差，但整个系统的垂轴色差为零。说具体点的话，就是由于放大率等于-1，结构又完全对称，因此在两个半部系统之间像平面位于无限远，对应的成像光束为平行光束。假定两个半部系统之间同一视场角的C、F光束互相平行，即没有垂轴色差，通过右半部系统以后即产生垂轴色差，设垂轴色差大于零。按照光路可逆定理，当光束按反向光路通过左半部系统时，光路完全对称，垂轴色差应和右半部大小相等、符号相反。这时如果物方没有垂轴色差，像方也没有垂轴色差，即整个系统垂轴色差为零，而左右两个半部分分别都有垂轴色差。这种关系不仅对垂轴色差成立，对其它垂轴像差如彗差、畸变也同样成立。
对于轴向像差如轴向色差、球差、像散和场曲，则左右两半部分相互叠加，整个系统的组合像差为半部系统的两倍。这里注意，轴向放大率=垂轴放大率的平方，如下图：
因此设计一个对称系统，只需要设计一个物平面位于无限远，校正球差、像散、场曲、轴向色差这四类像差的半部系统，按照对称的关系把左右两个半部合并以后，就可以得到校正所有像差的全系统。
除了薄透镜系统，我们还可以应用厚透镜系统。厚透镜可以看作由两个分离薄透镜和一块玻璃平板组合而成，因此单个弯月形厚透镜是有可能校正场曲的，为了使厚透镜达到校正轴向色差和球差的要求。
下面我们具体来介绍一些照相物镜基本结构形式。
该结构被广泛应用于价格较低的照相机上。假如我们想提升三片型物镜的成像质量的话，我们要将其复杂化。有两种复杂化的方式，一种是把前后两个正透镜中的一个分成两个，主要是为了增大物镜的相对孔径。另一种是把前后两个正透镜中的一个或两个用双胶合透镜组代替，主要是为了增加相对孔径和视场，同时改善边缘视场的成像质量。如下图所示：
双高斯物镜是具有较大视场 2w=40° 的物镜中相对孔径最先达到1/2的物镜。它是目前多数大孔径物镜的基础。
双高斯物镜的复杂化形式主要是为了增大物镜的相对孔径，把中间两个胶合厚透镜中的一个或二个变成分离透镜可适当提高物镜的视场。
光学特性为相对孔径 D/f&#39;=1/6.3 ，视场角 2\omega=90° ，该物镜是一种较早使用的广角物镜，缺点是有较大的斜光束渐晕，再加上照度按 cos4w&#39; 分布的规律，像面边缘的照度比中心照度低得多。为克服缺点，可采用消极的办法，在物镜前面或者后面加上一个不均匀的滤光片，减小视场中央的亮度，而使整个像面照度比较均匀。
光学特性为相对孔径 D/f&#39;=1/8 ，视场角 2w=60° ，其复杂化结构为将三胶合裂变成双胶合和一个单透镜。
光学特性为相对孔径 D/f&#39;=1/8 ，视场角 2w=120°，主要用于航空测量照相机，是一系列特广角摄影物镜的基础，复杂化形式主要是为了增大相对孔径和改善成像质量。
简单的松纳型物镜是一系列视场较小和相对孔径较大的物镜的基础，它的复杂化形式主要是为了增大相对孔径。可以将前面的透镜裂变成两个或者将后面的透镜变成双胶合。
由一个正光焦度的前组和一个负光焦度的后组构成，主要用于长焦距物镜中，系统长度都可以小于焦距。但是相对孔径比较小为1/6，视场角达到 2w=30° .
摄远物镜的复杂化结构式是把前、后两个双透镜组的一个或两个，用三透镜组来代替，以增大相对孔径或提高成像质量。
特点是有一个负光焦度的前组，和一个正光焦度的后组，相当于摄远物镜翻转180°。能同时实现大视场和大相对孔径。这类系统的长度比较大，系统的后工作距离也比较大。
反摄远物镜复杂化结构为（当下最火）：
上述结构以及其复杂化结构均为定焦距结构，下面我们来讨论一下变焦距物镜。变焦距物镜的基本原理为是利用系统中两个或两个以上透镜组的移动，改变系统的组合焦距，而同时保持最后像面不变，使系统在变焦过程中获得连续清晰的像。变焦距系统能够在拍摄点不变的情况下获得不同比例的像，因此它在新闻采访，影片摄制和电视转播等场合使用特别方便。而且在电影和电视拍摄的连续变焦过程中，随着物像之间倍率的连续变换，可以使观众产生一种由近及远或由远及近的感觉，这是定焦距物镜难以达到的。
系统的组合焦距为： f&#39;=\frac{h_1}{u_{k}^{&#39;}}=\frac{h_1}{u_{1}^{&#39;}}\cdot\frac{u_2}{u_{2}^{&#39;}}\cdot \frac{u_{3}}{u_{3}^{&#39;}}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot=f_{1}^{&#39;}\cdot\beta_2\cdot\beta_3\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\beta_k ， \beta 是垂轴放大率。
对于变焦距系统来说，由于焦距的改变，必然使物像之间的倍率发生变化，所以变焦距系统也称为变倍系统。多数变焦距系统除了要求改变物像之间的倍率之外，还要求保持像面位置不变，即物像之间的共轭距不变。
对于一个确定的透镜组来说，当它对固定的物平面做相对移动时，对应的像平面的位置和像的大小都将发生变化。当它和另一个固定的透镜组组合在一起时，它们的组合焦距将随之改变。假定第一个透镜组的焦距为 f_{1}^{&#39;} ，第二个透镜组对第一个透镜组焦面的垂轴放大率为 \beta_2 .
则它们的组合焦距为 f&#39;=f_{1}^{&#39;}\cdot\beta_2 ，当第二透镜组移动时，β2将改变，像的大小将改变，像面位置也随之改变，因此系统的组合焦距f&#39;也将改变。显然，变焦距系统的核心是可移动透镜组倍率的改变。
对单个透镜组来说，要它只改变倍率而不改变共轭距是不可能的，但是有两个特殊的共轭面位置能够满足这个要求，即所谓的“物像交换位置”，相当于反转180°，如下图所示。这种情况下，第二透镜组位置的物距（绝对值）等于第一透镜组位置的像距，而像距（绝对值）恰恰为第一透镜组位置的物距，前后两个位置之间的共轭距离不变，仿佛把物平面和像平面作了一个交换，因此称为“物像交换位置”。
透镜组的倍率由 \beta_1=\frac{l_{1}^{&#39;}}{l_{1}} ，变到 \beta_2=\frac{l_{2}^{&#39;}}{l_{2}}=-\frac{l_{1}}{l_{1}^{&#39;}}=\frac{1}{\beta} ；我们把前后两个倍率与之比称为变倍比，用 M 表示为： M=\frac{\beta_1}{\beta_2}=\beta_{1}^{2} 。由此可知，在满足物像交换的特殊位置上，物像之间的共轭距不变，但倍率改变了 \beta_{1}^{2} 倍。对于由 \beta_1 到 \beta_2 的其它中间位置，随着倍率的改变像的位置也要改变。当倍率等于 \beta 时候，共轭距离可以写成 L_\beta=l&#39;-l=\left( f&#39;+x&#39; \right)-\left( f+x \right)=\left( f&#39;-\beta f&#39; \right)-\left( f-\frac{f}{\beta} \right)=\left( 2-\beta-\frac{1}{\beta} \right)f&#39; ，此时假如 \beta=-1 ，那么 L_{-1}=4f&#39; ，此时的系统为 4f 系统。
但要使变倍组在整个变倍过程中保持像面位置不变是不可能的，要使像面保持不变，必须另外增加一个可移动的透镜组，以补偿像面位置的移动，这样的透镜组称为“补偿组”。在补偿组移动过程中，它主要产生像面位置变化，以补偿变倍组的像面位移，而对倍率影响较小，因此补偿组一般处在远离-1倍率的位置上工作。
实际应用的变焦距系统，物像平面是由具体的使用要求来决定的，一般不可能符合变倍组要求的物像交换原则。为此，必须首先用一个透镜组把指定的物平面成像到变倍组要求的物平面位置上，这样的透镜组称为变焦距系统的“前固定组”。如果变倍组所成的像不符合系统的使用要求，也必须用另一个透镜组将它成像到指定的像平面位置，这样的透镜组称为“后固定组”。大部分实际使用的变焦距系统均由前固定组、变倍组、补偿组和后固定组4个透镜组构成，有些系统根据具体情况可能省去这4个透镜组中的1个或2个。
下面我们来讨论下典型的变焦距物镜的形式：
机械补偿法变焦距物镜一般由典型的前固定组、变倍组、补偿组、后固定组四组透镜组成。机械补偿法变焦距物镜的变倍组一般的负透镜组，而补偿组可以是正透镜组也可以是负透镜组，前者称为正组补偿，后者称为负组补偿。
机械补偿变焦距物镜的变倍组和补偿组的合成共轭距，在变焦运动过程中是一个常量。理论上像点是没有漂移的，整体结构也比较简单。近年来，随着机械加工技术的发展，机械补偿系统中凸轮曲线的加工已不像过去那么困难，加工精度也越来越高。所以，目前此种类型变焦距物镜得到了广泛的应用。
光学补偿法变焦距物镜是在变焦运动过程中用若干组透镜作线性运动来实现变焦距，它们作同向且等速移动，在移动过程中，各组元共同完成变倍和补偿任务，使像面达到稳定的状态，但实际在变焦运动过程中，光学补偿法变焦距物镜只能在某些点作到像面稳定，所以在全范围内它的像面是有一定漂移的。
由于光学补偿法变焦距系统仍存在一定的像面位移，为补偿像面位移，可使其中另一组元作适当地非线性移动来进行补偿，这样就构成了光学机械补偿混合型变焦距系统。注意，此时的非线性移动是非常小的，和机械补偿法中的移动不同。
变焦距物镜在变焦运动过程中，各组元均按一定的曲线或者直线运动，该物镜是当下研究的重点。
讨论完变焦距物镜的四种基本类型后，我们来讨论下变焦距物镜的高斯光学。
在满足像面稳定和满足焦距在一定范围内可变的条件下来确定变焦距物镜中各组元的焦距、间隔、移动量等参数的问题。高斯光学是变焦距物镜的基础，高斯光学参数的求解在变焦距物镜设计中至关重要，直接影响最后的成像质量。若要求全部范围内成像质量都要好，就需要在所有可能解中挑选出尽量少产生高级像差的解。这相当于在系统总长一定的条件下，挑选各组焦距尽可能长的解，使各组元无论对轴上还是轴外光线产生尽量小的偏角。
求解变焦距物镜高斯光学参数,实际上是确定变焦距系统在满足像面稳定和焦距在一定范围内可变的条件下系统中各组元的焦距、间隔、位移量等参数。这些高斯光学参数的确定需要通过建立数学模型来解决,我们选择系统内各组元的垂轴放大率 \beta_i (i=1, 2,3, .…n) 作为自变量，因为用 \beta_i 做自变量可以表示出系统及系统内各组元的其它参量，使方程的建立更加容易，形式比较规则，从而更便于分析，而且它可以直接反映变焦过程中的一些特征点，如 \beta_i 倍，-1倍， 1/\beta_i 倍。
若一组变焦距物镜由n个透镜组组成，用 F_i\left( i=1,2...,n \right) 表示组元的焦距， \beta_i\left( i=1,2,...,n \right) 表示组元的垂轴放大率，则有 F=F_1\beta_1\beta_2...\beta_n ，其中F表示系统总焦距值。由上式可知，变焦距物镜的合成焦距 F 为前固定组焦距 F_1 和其后各透镜组垂轴放大率的乘积。
F 的变化即 \beta_2,\beta_3,...,\beta_n 乘积的变化，此时我们可以定义系统的倍率为 \Gamma=\frac{F_L}{F_S}=\frac{\beta_{2L}\beta_{3L}...\beta_{nL}}{\beta_{2S}\beta_{3S}...\beta_{nS}} ，
若 \Gamma\geq10 ，则称为高变倍比， \Gamma<10 ，则称为低变倍比。下标 L 表示长焦距状态， S 表示短焦距状态，每个组元的倍率可以倍定义为 \gamma_i=\frac{\beta_{iL}}{\beta_{iS}} ，可得 \Gamma=\gamma_2\gamma_3...\gamma_n .此式表明了系统变倍比与各组元变倍比之间的关系。同时我们得到几组关系式为：
各组元的物像共轭距： L_i=\left( 2-\beta_i-\frac{1}{\beta_i} \right)\cdot F_i
各组元的物距： l_i=\left( \frac{1}{\beta_i} -1\right)\cdot F_i
各组元的像距： l_{i}^{&#39;}=\left( 1-\beta_i \right)\cdot F_i
各组元的间隔： d_{i,i+1}=\left( 1-\beta_i \right)\cdot F_i+\left( 1-\frac{1}{\beta_i+1} \right)\cdot F_{i+1}
了解了上述计算公式，我们下面就可以来讨论如何设计照相物镜了。
照相物镜光学特性：变化范围很大，视场和相对孔径一般都比较大，需要校正的像差也大大增加，结构也比较复杂。不同结构、不同光学特性的照相物镜中，需要校正的像差不同，设计方法和步骤也有差别。
第一步是原始系统结构型式的确定，原始系统的选定是光学自动设计的基础和关键。由于照相物镜中高级像差比较大，结构也比较复杂，因此照相物镜设计的原始系统一般都不用初级像差求解的方法来确定。而是根据要求的光学特性和成像质量从手册、资料或专利文献中找出一个和设计要求比较接近的系统作为原始系统。上节我们所以要介绍各种不同的结构型和它们适用的光学特性，就是为了使大家在选择原始系统时，做到心中有数。知道什么样的光学特性和像质要求，大体上应该选用什么样的结构型式，再去有目的地寻找所需要的原始系统。
第二步就是校正像差，该步骤分为几个阶段：
第一阶段是校正“基本像差”——全视场和全孔径的像差。
(1）轴上点孔径边缘光线的球差和正弦差。
(2）边缘视场像点的细光束子午场曲和弧矢场曲。
(3）轴上点的轴向色差和全视场的垂轴色差。
(4）畸变只对那些特殊用途的照相物镜如用于摄影测量的物镜才校正。
第二阶段是校正剩余像差或高级像差。
在完成第一阶段校正的基础上，全面分析一下系统像差的校正状况，找出最重要的高级像差，作为第二阶段的校正对象。当然在第一阶段中已加人为校正的像差在第二阶段必须继续参加校正。因为只有在基本像差达到校正的前提下，校正高级像差才有意义。对剩余像差或高级像差的校正，采取逐步收缩公差的方式进行，使它们校正得尽可能小。在校正过程中某些本来不大的高级像差可能会增大起来，这时必须把它们也加人为校正，或者在无法同时校正的情况下采取某种折衷方式使各种高级像差得到兼顾。第二校正阶段往往是整个设计成败的关键。如果系统无法使各种高级像差校正到允许的公差范围之内,只能放弃所选的原始系统，重新选择一个高级像差较小的原始系统。回到第一阶段重复上述校正过程，直到各种高级像满足要求为止。
第三阶段是像差平衡。
在完成了第二校正阶段后，各种高级像差已满足要求。根据系统在整个视场和整个光束孔径内像差的分布规律，改变基本像差的目标值，重新进行基本像差的校正。使整个视场和整个光束孔径内获得尽可能好的成像质量，这就是我们在前面已经说过的“像差平衡”。
假如我们利用了光学自动设计软件校正了像差，那么我们现在来讨论下照相物镜像差的公差：
照相物镜来说波像差小于 \lambda/2 ，即可认为是一个高质量设计，因此可以把波像差小于 \lambda/2 作为照相物镜轴上球差公差的标准。
初级球差： \delta L_{m}^{&#39;}\leq \frac{8\lambda}{n&#39;u_{m}^{&#39;2}}\sim\frac{16\lambda}{n&#39;u_{m}^{&#39;2}} ；
剩余球差： \delta L_{sn}^{&#39;}\leq \frac{12\lambda}{n&#39;u_{m}^{&#39;2}}\sim\frac{24\lambda}{n&#39;u_{m}^{&#39;2}} ；
常用相对孔径对应的球差公差值：
照相幅面的形状一般为长方形或正方形。照相物镜的视场一般按对角线视场计算，图中的圆相当于0.7视场，整个画面的绝大部分面积已包含在0.7视场的圆内。因此评价照相物镜的轴外像差主要是在0.7视场内，0.7视场以外像质允许下降。
评价照相物镜的轴外像差，一般不按各种单项像差分别制定公差而直接根据子午和弧矢垂轴像差曲线对轴外点进行综合评价。前面已给出了轴上点球差的公差,在评价轴外点的像差时，首先作出轴上点和轴外点的子午和弧矢垂轴像差曲线。把轴上点的垂轴像差作为评价轴外点垂轴像差的标准，而且重点是考察0.7视场内的像差。对垂轴像差曲线一般应从两个方面来考察：一方面看它的最大像差值，它表示最大弥散范围；另一方面看光能是否集中，如果大部分光线的像差比较小，光能比较集中，即使有少量光线像差比较大，也是允许的。轴外像点的像差当然不可能校正得和轴上像点一样好，只要整个光束中有70-80%的光线的像差和轴上点相当，就可以认为是较好的设计了。
照相物镜一般都能把轴上点指定孔径光线的色差校正得比较好(例如0.7071孔径的光线），但是色球差不可能完全校正。在不同型式的物镜中差别很大，例如在双高斯物镜中色球差很小，而在反摄远物镜中色球差比较大。由色球差形成的近轴和边缘色差最好不超过边缘球差的公差。
以上像差公差的参考数据是针对一般照相机的物镜来说的，对特种用途的照相机应按具体使用要求确定。目前比较好的方法是使用光学传递函数。
<hr/>以上便是光学设计的主要内容，希望对光学设计的初学者有所帮助。最后我声明下我省略的部分：
我省略了我认为不适合初学者的部分，如讨论单透镜的像差性质，和对初学者意义不大的部分，如讨论光学材料和光学加工。同时文章中对于望远镜物镜、显微镜物镜和目镜设计也没有进行详尽描述，对这方面有学习需求的同学可以转战其他地方进行学习。 |
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