标准具和晶体中的电磁场传输算法（3）

cherryjhy · 发表于 2023-2-22 17:59:20

图3.在角谱域定义均匀采样网格。（a），初始网格定义，5x5采样点，

和

为采样距离；（b），使用5x5采样点，沿垂直方向生成一个测试网格，

和

=0.5

为采样距离；（c）中使用9x5个采样点定义了沿水平方向的一个测试网格，

=0.5

和

为采样距离。（（b）和（c）中的实心点是在（a）的初始网格中出现的共同的采样点位置，而空心圆环与初始网格中不一样的采样点。

其中角谱域中的均匀网格定义为

，其中

和

为Kx和Ky的采样距离。利用FFT计算的结果，在两个域中的采样点是一样的，因此我们有

。
接下来，将输入角谱乘以系数矩阵，然后我们可以获得输出角谱场，例如，对于透射

角谱

的采样通过傅里叶变换关系自动确保。然而，

的采样没有必要进行确保，因为他们包含了系数和输入角谱之间的点乘。这个问题将在第四部分的案例中进行清楚地说明。
一般来说，采样距离

，

和带宽

必须进行适当调整以确保正确的采样。在我们的情况中，方程（13）中的运算没有改变谱范围。因此，我们仅仅只需要找到合适的采样距离即可。此问题并没有解析解，因为系数矩阵T或者R是通过递归S矩阵方法数值上获得的。确保

采样的唯一方法是实行数值测试。

让我们在角谱域定义一个测试采样网格，如如3（b）或者3（c）所示。测试网格定义为

,其中

为指数；为了不改变角谱范围，要求

。与初始网格相比，它也需要进行细化，这意味着

。
一方面，我们以一种严谨的方式来计算测试网格上的输出横向角谱分量。由于输入横向角谱分量的合适采样，根据需要可以进行插值，例如，在测试网格上，我们获得

其中“INTRPL”代表的是数值插值运算。为了在一个更精细的网格上严格地获得输入场，如方程（14）中，我们总是采用基于FFT的Sinc插值方法，把它们代入到方程（13）中，可以严格地获得输出横向角谱量

另一方面，通过对

的插值，我们也可以获得测试网格上的输出横向角谱量，并将插值结果表示为

。我们将此过程描述为

值得强调的是，在方程（16）中无需再使用严格的Sinc插值。因为这些结果仅仅用于评估一下情况。在这篇文章中，我们使用三次插值。上面的插值没必要给出正确的输出值，因此，在方程（16）的左边，我们对那些量使用上标“intrpl”。下一步，我们定义

作为插值结果和严格结果之间的相对偏差。只要

在初始网格上的采样满足奈奎斯特-香农采样定理，基于他们的插值结果就不会对严格的插值方法表现出一个大的偏差。在这种情况下，根据所选的插值方法，两种结果的偏差应该在数值误差级次，由σ_0表示。使用上述标准，通过一步步的减小采样间距来测试场采样，直至σ<σ_0。

以上的测试过程对应着一个循环，在每个测试循环中都会执行方程（14）到（17）的计算。为了在每个测试循环中充分地使用测试数据，如方程（15）中的结果，我们总是使用图3（b）和3（c）中的测试网格。这样规则的测试网格定义为

对每个循环内，需要对先前的采样距离减半。使用这个测试网格具有如下好处：当计算

时，仅仅需要计算那些在空心圆圈位置处的值，而实心点位置处的值在之前的测试循环中已经计算过了，并且让这些值简单地进行传输即可。在这种方式下，这些基于测试目的所进行严格计算的值不会被丢掉，而会作为下一次循环中的起始点以重新使用。因此，在一个完整的计算中所执行的是严格的计算，从而验证合适的采样，并且这些计算的值能够有效地用于构建最终输出场。我们将上面的方法总结在算法1中。

标准具和晶体中的电磁场传输算法（3）

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