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应用光学习题集（二）

2022-3-22 12:04| 发布者：Davis| 查看：2611| 评论：0|原作者: 小小光08

摘要：本文介绍了应用光学习题集（二）中包含的几何光学的基本原理和共轴球面系统的物像关系等知识点，并提供了解题思路和计算方法。此外，还探讨了如何计算视场大小以及如何确定照相机的焦距等问题。

说明：应用光学习题集（二）主要涉及几何光学的基本原理、共轴球面系统的物像关系等知识点和相关内容。

习题27：物体通过透镜成一虚像，用屏幕是否可以接收到这个像？如果用人眼观察，是否可以看到这个像？

屏幕不可以接收，但人眼可以观察到。

由物点发出的光线，经透镜成像，其反射线反向延长线的交点为该物点的虚像点，虚像点不是实际光线的会聚，因此不能成像在光屏上。

但是，不管所成为实像还是虚像，只要物点所发的光线可以到达人眼，就可以引起视觉反应，从而被观察到。物点经透镜所产生的虚像，人眼逆着光线观察同样可以判断出物点的位置和形状。

习题28：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，如图25所示。试求：

图25：玻璃棒成像

① 箭头经玻璃棒成像后的像距为多少？②整个玻璃棒的垂轴放大率为多少？

解答：已知玻璃棒的结构参数：两端面的半径、间隔和玻璃棒材料的折射率n，以及物体的位置和大小，求经玻璃棒之后所成像的位置和大小。

利用单个球面物像位置关系的公式

代入n₁=1, n`₁=n=1.5, l₁=-200mm, r₁=50mm，求得第一球面的成像位置l`₁：

第一球面的垂轴放大率β₁为：

第一球面所成的像作为第二球面的物，根据转面公式可求出第二面物距：

再次代入n₂=n=1.5, n`₂=1, l₂=-200mm, r₂=-100mm，求得第二球面的成像位置l`₂：

即箭头经玻璃棒成像后，所成的像位于第二球面前方400mm处。

第一球面的垂轴放大率β₂为：

整个玻璃棒的垂轴放大率应为第一球面放大率和第二球面放大率的乘积，即

使用ZEMAX仿真验证计算结果：

经该玻璃棒成像后，成像位置（IMAGE）在第二球面前方400mm处，且整个玻璃棒的垂轴放大率（PMAG）为-3。

图26

习题28：一薄透镜焦距为200mm，一物体位于透镜前300mm处，如图27所示，求像的位置和垂轴放大率。

图27：薄透镜成像

解答：

1）用高斯公式求解

代入l=-300mm，f′=200mm，则

求得l′=600mm，即像位于透镜后600mm处。

垂轴放大率β为

2）用牛顿公式求解

代入x=l-f=-300-（-200）=-100mm，f′=200mm，则

即像面位于像方焦点后400mm处。

垂轴放大率β为

总结：

为了更直观地表示整个光学系统的物像关系，引入了共轴球面系统垂轴放大率β=1的一对共轭面——物方主平面H和像方主平面H′以及两个基点——F（物方焦点）和F′（像方焦点）。用一对主平面H、H′和两个焦点F、F′来表示一个理想光学系统的成像性质，从而导出理想光学系统的物像关系式。

理想光学系统物像关系，如图28所示。

图28：理想光学系统物像关系

根据选用的物像位置坐标起始点的不同，理想光学系统的物像关系式可分为高斯公式和牛顿公式两种，归纳如图29所示。

图29：理想光学系统计算公式

对高斯公式和牛顿公式说明如下几点：

① 只有当知道系统的焦距f′之后，才能使用高斯公式或牛顿公式。如果只知道系统的结构参数r、n、d，不能直接应用上述两组公式，而必须首先利用近轴光路计算计算一条平行于光轴入射的光线（坐标h=h₁, u=0），根据入射光线的入射高度h₁和出射光线与光轴的夹角u`_k可求出焦距f′，同时还可由出射光线在最后一面上的投射高h`_k和u`_k求出焦点位置l`_k，从而确定像方焦点和像方主平面的位置。反过来，计算同样一条光线就可确定物方焦点和物方主平面的位置。

② 牛顿公式和高斯公式计算的结果应该是一致的。解题时使用哪一套公式，应视已知的物（或像）面的坐标是以什么形式（l还是x）给出的而定。也可以根据转换式x=l-f,x′=l′-f′改变物（像）面坐标的形式。

③ 牛顿公式和高斯公式给出的是整个理想光学系统的物像位置和物像大小的直接关系式。只要知道焦距就可以求解出任意物平面所对应的像平面的位置和对应的放大率，反过来，也可以根据给定物像位置确定系统的焦距。

习题29：一架135照相机的镜头焦距为35mm（底片框尺寸为24mm×36mm），问该相机的视场为多大？

解答：照相机的底片框就是相机的视场光阑，一般以底片框的对角线长度y′来确定视场的大小。

根据无限远物体的理想像高公式

可得ω=31.72°。

所以，该相机的视场为±31.72°。

习题30：一组合系统如图30所示，薄正透镜的焦距为20mm，薄负透镜的焦距为-20mm，两单透镜之间的间隔为10mm，当一物体位于正透镜前方100mm处时，求组合系统的像的位置和垂轴放大率。

图30

解答：

1）可以对正透镜和负透镜先后应用高斯公式或牛顿公式，求出最后的像面位置和系统的放大率。

已知条件中给出的物体位置是以l形式给出的，所以利用高斯公式相对简单一点。

对单正透镜来说，l₁=-100mm, f`₁=20mm，由高斯公式可以得到l`₁=25mm。

对单负透镜来说，l₂= l`₁-d=25-10=15mm, f`₂=-20mm，由高斯公式可以得到l`₂=60mm。

即最后像位置在负透镜后60mm处。

组合系统的垂轴放大率为

2）先根据组合系统的焦点和焦距公式，求出焦点和主平面位置，然后再应用牛顿或高斯公式就可求出最后的像面位置和系统的放大率。

组合系统的焦距可由下面公式求出

即f`=-f=40mm。

物方焦点位置：

因此，x_F==-40mm，即物方焦点在正透镜物方焦点前40mm处，也就是正透镜左方60mm处。

像方焦点位置：

即组合系统的像方焦点位于负透镜像方焦点后40mm处，也就是负透镜后20mm处，如图31所示。

图31：组合系统计算结果示意图

由物方焦点和物点位置可以计算出，-x=100-60，即x=-40mm。

根据牛顿公式xx`=-f`²，得

即像面位于组合系统像方焦点后40mm处，也就是负透镜后60mm处。

组合系统的垂轴放大率为

显然解法一要比解法二更简单，因此解题之前，要根据已知条件，选择适合的计算公式。

习题31：一双凸薄透镜的两表面半径分别为r₁=50mm,r₂=-50mm，求该透镜位于空气中和浸入水（n₀=1.33）中的焦距分别为多少？（透镜材料折射率n=1.5）

解答：

位于空气中时

即f′=-f=50mm

位于水中时

所以f′=-f=195.6mm

可见当把该透镜浸入水中时，焦距由50mm变成195.6mm。

习题32：用作图法求图32中物体AB的像A′B′。

图32

解答：如图33所示。

图33：作图法求像

习题33：用作图法求图34中位于空气中各薄透镜的焦点F、F′的位置。

图34

解答：如图35所示。

图35：作图法求焦点位置

习题34：凹面反射镜半径为-400mm，物体放在何处成放大两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？

解答：根据近轴光学基本公式

可以得到单个球面的物像关系。

反射情形可以看作n′=-n=1的折射，将n′=-n=1代入以上两式，可得

对于反射镜，实物成实像时，物和像均在球面镜的同一侧，此时β＜0；反之，实物成虚像时，物和像分别在球面镜的两侧，此时β＞0。

根据题意，实物成实像时，β=-2，则

再由

即物体放在反射镜球面顶点前300mm处时，成一放大2倍的实像。

同理，实物成虚像时，β=2，重复上述运算，可得l=-100。也就是说，当物体放在反射镜前100mm处时，可在镜面后成一放大2倍的虚像。

习题34：一光源位于f′=30mm的透镜前40mm处，问屏放在何处能找到光源像？垂轴放大率等于多少？若光源及屏位置保持不变，问透镜移到什么位置时，能在屏上重新获得光源像？此时放大率等于多少？

解答：本题的前两问是根据透镜的焦距（f′=30mm）和物体的位置（l=-40mm），求像的位置和大小，因此可以利用物像关系式的高斯公式或牛顿公式进行求解。后两问实际上是在已知f′和物像共轭距的情况下，求解物像位置和物像大小之间的关系，解决这类问题的办法也是利用高斯公式或牛顿公式，由已知条件列出共轭点之间的几个方程式，解方程组就可得出结果。

将l=-40mm, f′=30mm代入公式

可得l′=120mm，即光源像位于透镜之后120mm处。

根据题意，可列出以下方程

联立求解可得

所以，

由以上计算可以看出，当物像共轭距不变时，沿光轴移动光学系统可以找到两个在同一像面上清晰成像的物像位置，这两个位置的垂轴放大率互为倒数，而且其中一个位置的物（像）距在绝对值上等于另一位置的像（物）距。这种关系用光路可逆定理很容易得到解释。这种关系常应用在连续变倍系统中。

习题35：一架幻灯机的投影镜头f′=75mm，当屏由8m移至10m时，镜头需移动多少？方向如何？

解答：此类问题仍采用高斯公式或牛顿公式解决。

假设镜头应向左移动Δd（如图36虚线所示），并且规定Δd的符号规则为向左移为负，因此图中Δd前标有负号。

图36：幻灯机投影镜头示意图

当镜头处在原位置时，应用高斯公式有

可以求得l=-75.71mm。

由图36可知

代入高斯公式有

可得Δd=-0.14mm。

按照符号规则，Δd＜0，所以镜头应向左移动0.14mm。

习题36：某照相机可拍摄最近距离为1m，装上一个有屈光度（f′=500mm）的近拍镜后，能拍摄的最近距离是多少？（假设近拍镜和照相镜头密接）

解答：照相机近拍镜头示意图由图37所示。

图37：照相机近拍镜头示意图

应用高斯公式可得

即能拍摄的最近距离为1/3m。

习题37：一凹球面反射镜浸没在水中，物在镜前300mm，像在镜前90mm，求球面反射镜的曲率半径和焦距。

解答：由于凹球面镜浸没在水中，因此有n′=-n=n_水。

由近轴光学基本公式

推得

将l=-300, l′=-90代入上式，得

计算可得

即球面反射镜的曲率半径为-138.46mm，焦距为-69.23mm。

习题38：假设物面与像面相距L，其间的一个正薄透镜可有两个不同的位置使物体在同一像面上清晰成像，透镜的这两个位置的间距为d，试证明透镜的焦距f′为

解答：按题意画出透镜在两个位置时的物像关系，如图38所示。

图38

根据图38中的几何关系以及高斯公式可以列出以下方程：

进一步推得

将上式展开后可以得到

进一步联立可得

再次代入高斯公式可得

可证明得

习题39：由已知f`1=50mm, f`2=-150mm的两个薄透镜组成的光学系统，对一实物成一放大4倍的实像，并且第一透镜的放大率β1=-2，试求：①两透镜的间隔；②物像之间的距离；③保持物面位置不变，移动第一透镜至何处时，仍能在原像面位置得到物体的清晰像？与此相应的垂轴放大率为多大？

解答：

① 根据题意，组合系统对实物成放大到4倍的实像，因此，组合系统的放大率β=-4，因为β=β₁β₂，而β₁=-2，所以β₂=2。

由牛顿公式求得

第一个透镜所成的像即第二个透镜的物，根据以上计算结果画出图39。

图39

由图39可知，两透镜之间的距离d=l`₁-l₂=75mm。

② 物像之间的距离为

③ 当物面位置不变，移动第一透镜时，为了保证仍能在原像面位置得到物体的清晰像，实际上只要保证第一透镜移动前后的物像共轭距L₁不变即可。

由以上计算可得到第一透镜的物像共轭距L₁为

由题意可列出以下方程

联立以上两式可以求得

其中第二个解正是透镜的原来位置。两解之间的透镜位置相距Δd=l₁-l₁*=75mm，新的透镜位置在原位置之后75mm处，此时第一透镜对应的垂轴放大率为

整个系统的垂轴放大率为

习题40：有一光学系统，已知f′=-f=100mm，总厚度（第一面到最后一面的距离）为15mm, l`_F=96mm,l_F=-97mm。求此系统对实物成放大10倍的实像时物距（离第一面）l₁、像距（离最后一面）l`_k及物像共轭距L。

解答：

图40

如图40所示，要想求出l₁和l`_k，只要分别求出x和x′即可，又由于系统对实物成放大10倍的实像，所以β=-10倍。

根据牛顿公式的物像大小关系式

所以，x′=-βf′=10×100=1000（mm）。

进一步推得

共轭距

习题41：有一正薄透镜对某一物体成实像时，像高为物高的一半；若将物体向透镜移近100mm，则所得的实像与物大小相同，求透镜的焦距。

解答：根据题意，第一次成缩小的实像时，β₁=-0.5，且有

第二次成物像相等的实像时，β₂=-1，且有

联立求解可得

焦距f′=100mm；

当β=-0.5时，l₁=-300mm，l`₁=150mm；

当β=-1时，l₁=-200mm，l`₁=200mm。

习题42：一个正透镜焦距为f′，使物体成像于屏上，试求物和像之间最小距离时的垂轴放大率β。

解答：

根据高斯公式

共轭距为

联立以上两式可得

将上式展开可得

求出二次方程根得

由实物成实像的要求，可以得出

所以有

由此可得物和像之间最小距离为4f′。

当物像共轭距L=4f′时，l=-L/2, l′=L/2。

此时，

习题43：一个正透镜焦距为100mm，一个指针长40mm，平放在透镜的光轴上，指针中点距离透镜200mm。求：①指针像的位置和长短；②指针绕中心转90°时，它的位置和大小。

解答：

① 要想求出指针像的位置和长短，只要分别求出指针两端点通过正透镜后所成的像就可以了。

由题意可知，指针两端点到透镜的距离分别为l₁=-220mm,l₂=-180mm，根据高斯公式，可求像距l`₁=183.3mm,l`₂=225mm。

因此，指针像的长度为ΔL=l`₂- l`₁=41.7mm。

② 当指针绕中心转90°时，指针正好垂直于光轴，此时，l=-200mm,y=40mm，根据高斯公式，l`=200mm。

又有垂轴放大率

所以，y′=βy=-1×40=-40（mm），即此时指针像位于透镜后200mm处，指针像大小为40mm。

参考资料：

1. 李林，黄一帆，《应用光学（第5版）》
2. 李林，黄一帆，《应用光学概念题解与自测（第2版）》
3. 张以谟，《应用光学（第三版）》
4. 赫克特，《物理学基础》

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