在 MATLAB 中使用粒子群优化算法（PSO）对非球面方程进行拟合，首先需要定义非球面方程并设定适合的误差函数。然后，通过 PSO 来寻找使得误差函数最小化的非球面系数。
以下是一个基本的步骤示例：
1. **定义非球面方程**：典型的非球面方程可以表示为：
\[
z(r) = \frac{r^2}{R \cdot (1+\sqrt{1-(1+k)\cdot \left(\frac{r}{R}\right)^2})} + A_4 \cdot r^4 + A_6 \cdot r^6 + \ldots
\]
其中 \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)，\( R \) 是曲率半径，\( k \) 是离心率，\( A_4, A_6, \ldots \) 是非球面系数。
2. **定义误差函数**：误差函数用于量化拟合的好坏程度。常用的误差是均方误差（MSE）：
\[
\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( z_i^{\text{measured}} - z_i^{\text{fitted}} \right)^2
\]
3. **实现粒子群算法**：
使用 MATLAB 的 `particleswarm` 函数进行优化。你需要定义目标函数来返回误差值。这里是一个简单的代码框架：
- % 假设有 xy 数据和相应 z 的测量值
- xy_data = [x_values, y_values];
- z_measured = z_values;
- % 定义目标函数
- function mse = asphereObjective(params)
- R = params(1);
- k = params(2);
- A4 = params(3);
- A6 = params(4);
- z_fitted = arrayfun(@(x,y) computeAsphereZ(x, y, R, k, A4, A6), xy_data(:,1), xy_data(:,2));
- mse = mean((z_measured - z_fitted).^2);
- end
- % 定义计算给定参数下 z 值的函数
- function z = computeAsphereZ(x, y, R, k, A4, A6)
- r = sqrt(x^2 + y^2);
- z = (r^2 / (R * (1 + sqrt(1 - (1+k) * (r/R)^2)))) + A4*r^4 + A6*r^6;
- end
- % 设置初始参数范围和选项
- lb = [0, -10, -1e-6, -1e-8]; % lower bounds for R, k, A4, A6
- ub = [10, 10, 1e-6, 1e-8]; % upper bounds
- % 使用粒子群算法进行优化
- options = optimoptions('particleswarm', 'SwarmSize', 50, 'HybridFcn', @fminunc);
- nvars = 4; % number of parameters to optimize (R, k, A4, A6)
- [bestParams, fval] = particleswarm(@asphereObjective, nvars, lb, ub, options);
- fprintf('Best Parameters: R = %.4f, k = %.4f, A4 = %.4e, A6 = %.4e\n', bestParams);
- fprintf('Minimum MSE: %.4f\n', fval);
这个脚本仅展示了如何设置和运行 PSO 以拟合非球面方程。根据具体的应用，你可能需要调整初始的参数范围、误差函数和其他算法选项。
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