衍射光栅

广义地说，具有周期性空间结构和光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅。

种类：

透射光栅，反射光栅；

平面光栅，凹面光栅；

振幅型，   相位型；

黑白光栅，正弦光栅；

一维光栅，二维光栅，三维光栅；

光栅的主要用途是作分光元件，此外，也可作长度测量和角度测量（计量光栅）。

1、平面透射光栅（振幅型，黑白光栅）

结构和现象

光栅常数

2、光强公式

光栅有N条狭缝，缝宽为a，光栅常数为d。

由于透镜L2的作用，来自不同的狭缝的方向衍射光会聚在屏幕上同一点，形成多光束干涉。     

在夫琅和费远场条件下，各缝在P点产生的振动，振幅相同，相位不同，相邻两缝在方向上的光程差为。

相位差为

设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零，则各点P点产生的复振幅分别为

于是P点的复振幅为

上式的推导中,应用了等比数列前N项和公式，式中，以及欧拉公式

所以

式中，单缝边缘光束在衍射方向上相位差之半。

    ，相邻单缝在衍射方向上相位差之半。

光强公式中，称为衍射因子，

                 称为干涉因子。

3、振幅矢量法求光强

两个同方向、同频率的振动的合成：

质点同时参与两个振动：

该质点的振动为这两个振动的合成，

合成振动还是简谐振动。

合振动的振幅和相位为:

上面的振幅矢量图解法还可以表示为

振幅矢量法求夫琅和费单缝衍射光强公式：

将狭缝处波面沿缝长方向划出N条小窄条，这些小窄条作为次级子波源，向狭缝后方空间发出衍射光。设子波源光振动的振幅为，它们的大小近似相等。屏幕的中心是等光程点，因此各子波源在此的振动同相位，各振幅矢量首位相接，连成一条直线。

因此，在屏幕中心处，振幅最大，因而光强也最大，为。

设屏幕上P点对应衍射方向的衍射光，该方向边缘光束的光程差为, 相位差。相邻子波源在该点光振动相位差为。作N个等长的首尾相接的小矢量，相邻两个小矢量夹角为，这些小矢量的合矢量即为P点光振动的振幅。

式中

振幅矢量法求多缝衍射光强公式：

在衍射方向上，每一单缝对振幅的贡献为，相邻两缝的相位差为，作N个小矢量，大小都为，相邻两个夹角为，它们首尾相接，合成矢量为A，由图中几何关系得

上式中

多缝衍射光强为

多缝的夫琅和费衍射光强受衍射和干涉两个因素的制约。

4、多缝衍射光强的讨论

（1）干涉因子

（a）干涉主极大:  ()

即     时，

在满足的衍射方向上，

光强为

在屏幕的中心

光强取得极大值:

（b）干涉极小

在光强公式中，两因子中任一因子为零，P点的光强都会为零。

对于干涉因子，当时，  ，

可以得到最小光强，。

因此极小的位置满足

  （）

即时，干涉因子为零，合成强度为零。

因此,两个干涉主极大之间有N-1个由于干涉产生的极小。分别对应   

（c）干涉次极大

两个极小之间有一个次极大，在实际工作中， N是个很大的数，干涉因子分子比分母变化得快得多，因此，当N很大时，可近似认为极大位于取极大值的那些点，即

或  

因此，在两个干涉主极大之间有个干涉次极大。例如 0 和 1级干涉主极大之间，次极大分别位于

次极大距离它附近的主极大越远，光能量越小，N 越大，次极大光能量越小。以N=100 计算，由光强公式可以算得各级极大与0级极大强度之比为 1/22.2 ，1/61.7 ，1/121… 

（2）衍射因子

衍射极小：当时，衍射因子为零。光强亦为零，即使该方向为干涉极大，光强仍为零。

若在某衍射方向是级衍射极小，又是k级干涉主极大，则有

由上面方程得，

第k级干涉主极大被级衍射极小调制掉，我们称这种现象叫作缺级。

例如，，则等级次被调制掉，不出现。

总之，光栅光强是多光束干涉被单缝衍射调制的结果。

5. 光栅光强分布曲线

上面图中大致画出了情况下的光强分布曲线。

在中央衍射极大中，仅有5条干涉极大，这些干涉极大能量较大，特别是零级干涉极大，能量最大。落在衍射次极大中的干涉极大，光能量很小。

满足的级次被调制掉。

若入射复色光，除中央零级极大不分开外，其他各级次的不同干涉极大分布在不同的衍射方向上，形成光谱。这些谱线，若落在衍射次极大中，会因为能量很小而不能使用。

6、光栅的三个参量

1、角色散D

用来表征某一级次的谱线单位波长间隔在空间散开的程度。

定义式：

由光栅方程

两边微分

D 与N无关。与光栅常数d有关，d越大角色散越小，d越小角色散越大。

作为分光元件，角色散大了好，谱线散开得宽，有利于分光。但散开太大，会造成越级（或重级）。

2、自由光谱范围

不同级次的谱线重叠的现象叫越级(或重级)。

如果的k级谱线恰与的k+1级谱线相重时，则k级光谱恰好不与别的级次的光谱相重。此时的为k级的自由光谱范围，称为。

由上两式解的

得 

3、分辨本领 R

色散的物理意义是主极大散开的程度。可能和的某一级主极大散得很开，却分不开。怎样才算分得开和的同一级谱线呢？

由瑞利判据，当的k级极大恰与的 k级极大内侧第一干涉极小相重，我们说这两波长的k级干涉极大恰可分辨。恰可分辨的两波长间隔称为最小可分辨的波长间隔.，记为。

定义分辨本领

由光栅方程，在的衍射方向上满足

若平面干涉仪，有效相干条数（精细度），k可达，，分辨本领很高，可以分辨光谱的超精细结构。光栅 k不能很大，一般取，但N很大，也可有较高的分辨本领。

例题设计一光栅，当用白光垂直照射时，能在的衍射方向上观察到的第二级干涉主极大，并在该处分辨相距的两谱线，可在衍射方向上看不到400nm

的第三级干涉主极大。

解：在方向上看到600nm 的第二级主极大,

由光栅方程

将代入得，

要求在该处可分辨600nm和600.005nm的两谱线，即要求分辨本领。

因，所以

即所设计的光栅至少有条狭缝，光栅宽为。

现在来确定a和b

因

所以，600nm的第2级与400nm的第三级干涉极大在一个衍射方向上。

要使400nm的极大不出现，必须把的3级干涉极大调制掉。因此取，

即

而

解得

光栅设计完毕。