半导体中的载流子浓度

半导体材料中的载流子浓度直接决定着半导体的导电能力，因此要制造出符合要求的半导体器件，必须定量地研究载流子浓度的影响因素。

半导体中有空穴和电子两种载流子，半导体中的电流是这两种载流子定向移动形成的电流之和。

空穴浓度和电子浓度分别用p和n表示，单位为m^-3或cm^-3作单位。

1、半导体载流子浓度与载流子能量的关系

在热平衡状态下，

载流子数量计算基本原理：

载流子浓度=载流子总数的可能最大值X载流子出现概率

载流子浓度=量子态密度X费米-狄拉克分布函数

1.1 量子态密度

单位体积，单位能量中载流子总数的最大值（即可能的量子态总数）称为量子态密度。

导带量子态密度用g_c表示。

价带量子态密度用g_v表示。

量子态密度与载流子动能的平方根成正比。

导带电子量子态密度：

价带空穴量子态密度：

上式中，m*为空穴或电子的有效质量（考虑晶格对载流子束缚作用的等效质量）。

h为普朗克常数 ，h=6.626X10-³⁴J·s。

设导带中电子的能量为E，将导带底的能量E_c视作电子的势能，那么E-E_c即为电子的动能。同理，价带顶能量E_v与空穴能量E的差值E_v-E 即为价带中空穴的动能。

1.2 费米-狄拉克分布

在一定温度T下，能量为E的电子出现在某一量子态的概率为

相应地，能量为E的空穴出现在某一量子态（即某一量子态为空）的概率为

①  E_F为该温度下的费米能级。根据此式，费米能级也可以定义为：在一定温度下，若能量为E_F 的量子态被载流子占据的概率为1/2，则E_F为该温度下的费米能级。

②  k为玻尔兹曼常量，k=1.38X10-²³J/K  。

有了量子态密度和费米-狄拉克分布的表达式，就可以通过对能量在整个能带中积分，得出单位体积内电子的数目为

空穴浓度为

对于电子，当能量增大时，由于费米-狄拉克函数迅速趋于零，因此可将积分上限设定为+∞而不必使用导带顶能量。空穴同理反之。

2、半导体载流子浓度与半导体自身参数的关系

2.1 载流子浓度与能带能量值Ec，Ev的关系

在费米-狄拉克分布函数的玻尔兹曼近似（ E-E_F>>KT ）条件下，可以积分计算出半导体的导带电子热平衡浓度为

①   n₀ 的下标0表示无外电压的热平衡态。

②    N_c是与半导体材料和温度有关的常数，称为导带有效状态密度。 

同理，半导体的价带空穴热平衡浓度为

2.2 载流子浓度与本征半导体参数的关系

本征半导体：纯净的具有晶体结构的半导体。

本征半导体有两个重要参数：本征载流子浓度，本征费米能级。

(1)本征载流子浓度即为本征半导体中的载流子浓度。由于本征半导体中所有价电子都形成了共价键，自由电子数=空穴数，故通常用电子数  来表示本征载流子浓度。是半导体材料（即使是已经掺杂了的半导体）的一个重要参数。

将n₀ 和p₀  的表达式相乘，并考虑关系E_g=E_c-E_v ，可以得到

由上式可知：

②  征载流子浓度与材料，温度和禁带宽度有关，而与导带、价带、费米能级无关。

②热平衡状态下，电子浓度n₀和空穴浓度p₀的乘积为定值。

(2)本征半导体的费米能级称为本征费米能级。我们可以根据本征半导体n_i=p_i  ，得出本征费米能级在能带中的具体位置。计算结果为

可见，本征费米能级大约位于禁带中央。

我们把这个关系式“拆开”，得出半导体（无论本征与否）电子、空穴浓度与本征载流子浓度，本征费米能级的具体关系是

2.3 载流子浓度与掺杂浓度的关系

设本征半导体中掺杂了浓度为Nd的提供电子的施主(Donor)杂质(如磷)，又掺杂了浓度为N_a  的接受电子的受主(Acceptor)杂质(如硼)。

设掺杂后电子、空穴浓度分别为n₀、p₀，由于本征半导体中电子浓度=空穴浓度，故有n₀-N_d=p₀-N_a ，又，联立求解并舍去负根得

这一结果表明，在高掺杂状态（本征浓度相对掺杂浓度可以忽略）下，直接n₀= N_d -N_a  是一个很好的近似。

3、半导体中的电流——载流子的输运

本节始研究载流子的运动，也就是载流子输运现象。

载流子的输运分为两种基本形式：扩散运动，漂移运动。

扩散运动由浓度梯度引起，漂移运动由电场引起。

3.1 漂移运动(Drift)

欧姆定律的微分形式给出漂移电流密度为

μ为迁移率

上式是空穴和电子的电流密度之和。由于电子的(-e)和电场力作用方向(-E)抵消，因此两个电流用加号连接。

上式同时给出了电导率σ（有些书上记为γ）的具体表达式。

4.2 扩散运动(Diffusion)

由于扩散电流是从高浓度往低浓度扩散，亦即同载流子浓度减小率成正比，因此扩散电流密度为

 D为扩散系数

总电流密度为

4.3 迁移率和扩散系数的关系——爱因斯坦关系

爱因斯坦关系：在温度一定时，迁移率与扩散系数的比值为常数。