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理解麦克斯韦方程组（微分篇）

2021-12-20 11:07| 发布者：Davis| 查看：1048| 评论：0|原作者: 小小光08

摘要：本文介绍了麦克斯韦方程组的微分形式及其物理意义，包括高斯电场定律、散度等概念，同时也解释了微积分中的导数和偏导数。

麦克斯韦方程组的积分形式是从宏观角度来描述问题，这些曲面都是宏观可见的东西。那么微分形式似乎应该从微观角度去看问题

积分形式的麦克斯韦方程组需要选定一个曲面，但是它并没有限定这个曲面的大小，可以把这个曲面选得很大，也可以选得很小。当你把这个曲面选得很小很小的时候，麦克斯韦方程组的积分形式就自然变成了微分形式。

所以，微分形式的基本思想还是很简单的，它真正麻烦的地方是在于如何寻找一种方便的计算方式。

01微分形式的静电

在积分篇里，是这样描述静电的：在空间里任意一个闭合曲面，那么通过闭合曲面的电场线的数量（电通量）就跟这个曲面包含的电荷量成正比。用公式表述就是这样：

这就是积分形式的高斯电场定律。

因为这个闭合曲面S是可以任何选取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么我们让这个闭合曲面一直缩小到无穷小，这其实就是让它的表面积或者体积无限趋向于0。也就是说，用数学符号可以记成这样：

lim就是英文单词极限（limit）的缩写，ΔV通过一个箭头指向0可以很形象的表示它无限趋近于0。有了这个极限的概念，我们就可以很自然的表示通过这个无穷小曲面的电通量了（直接在电通量的前面加个极限符号），这时候高斯电场定律就成了这样：

这样，我们就把高斯电场定律从宏观拉到了微观：方程的左边表示曲面缩小到无穷小时的电通量，方程的右边表示无穷小曲面包含的电荷量。但是，当曲面缩小到无穷小的时候，我们不再使用电荷量Q，而是改用电荷密度（符号为ρ）。电荷密度表示的是单位体积内包含电荷量的大小，即：ρ=Q/V。

如果我们把微观的高斯电场定律左右两边都同时除以体积ΔV，那么右边的电荷量Q除以体积Δ就变成了电荷密度ρ，左边我们也再除以一个ΔV，那么公式就变成了下面这样：

左边原来是通过无穷小曲面的电通量，它除以一个体积ΔV就表示电场E在一个点（被无穷小曲面围着的这个点）上的散度。

散度被定义为电场通过这个无穷小曲面的电通量除以体积。散度的英文单词是divergence，所以我们通常就用div(E)表示电场E的散度，即：

所以，高斯电场定律的微分形式就可以表示成这样：

它的物理意义就是：电场在某点的散度跟该点的电荷密度成正比。

02初入江湖的∇

微分形式的基本思想还是很简单的，它真正麻烦的地方在于如何寻找一种方便计算的方式，这种方便的计算方式就是引入符号▽。那么我们理解了符号▽的前世今生，就能理解麦克斯韦方程组的微分形式的精髓了。

03从导数说起

衡量事物变化快慢的概念：导数。

我们衡量一个量变化快慢的方法是：给定一个变化的时间dt，看看这个量的变化Δy是多少，如果这个量的变化很大我们就说它变化得很快，反慢。

这里，稍微解释一下Δy和dy的区别：如下图所示，我们假设函数在x轴上有一个增量Δx，这个用Δx或者dx表示都一样，两者相等。但是，这个在x轴上的变化带来的y轴上的变化就不一样了：Δy表示的是y轴实际的变化量，前后两个不同的x对应的y值直接相减得到的真实结果；而 dy是在M点做了一条切线，然后我用这条直线来代替曲线，当x轴上变化了Δx的时候这条直线上对应y上的变化。

从这个图里可以看到：Δy的值是要比dy大一点点，但是随着Δx或者dx的减小，它们的之间的差值会急速减小，比Δx减小的快得多，这个差值也是我们常说的高阶无穷小。

Δy叫做函数从一点到另一点的增量，而dy则被叫做函数的微分，或者叫它的线性主部。

“以直（dy）代曲(Δy)”是现代微积分的一个核心思想，从这个图里可见一斑。

在微积分刚创立的时候，莱布尼茨把dx看作一个接近0但又不等于0的无穷小量，这种“朴素”的思维很符合直觉，而且用这种思想来计算也没什么错，但是它的基础是非常不牢固的。正是这种幽灵般的无穷小量dx（时而可以看作是0，时而可以当除数约分）导致了第二次数学危机，数学家们经过一个多世纪的抢救才给微积分找到了一个坚实的地基：极限理论。

在导数dy/dt大的地方，图形里的斜率很大，通俗的说就是曲线很陡峭；而导数很小的地方，对应的曲线就很平缓。

04多个变量的偏导数

我们在z=f(x,y)上无法直接定义导数，但是如果我们把y固定起来了，这时候二元函数的曲面就变成了一元函数的曲线，那么我们就在曲线上定义导数了。这种把y的值固定在某个地方，然后计算函数在x轴方向上的导数，叫作关于x的偏导数，记做∂z/∂x。同样，如果我们把x的值固定，计算函数在y轴方向上的导数，那自然就是关于y的偏导数，记做∂z/∂y。

05全微分

根据上面偏导数的定义，如果我们把y 的值固定了，那么在x轴方向上的导数是可以用偏导数∂z/∂x来表示，那么就可以写成（∂z/∂x）·dx。同样，在y轴方向上的导数是可以用偏导数∂z/∂y来表示，那么就可以写成（∂z/∂y）·dy。我们把这两个部分加起来，就得到了最终变化dz：

这个公式我们可以把它做作全微分定理，它其实是对上面一元函数导数关系的一个自然推广。它告诉我们，虽然在曲面的一个点上有无数个方向，但是只要我们掌握了其中x和y两个方向上的偏导数，我们就能把握它的函数变化dz。

06再谈矢量点乘

两个矢量OA、OB的点乘被定义为：OA·OB=|OA||OB|Cosθ。它表示一个矢量OA在另一个矢量OB上的投影OC（OC=|OA| Cosθ）和另一个矢量的大小的乘积，可见两个矢量点乘之后的结果是一个标量（只有大小没有方向）。

矢量点乘的几个性质如下：

性质1：点乘满足交换律，也就是说OA·OB=OB·OA。这个很明显，因为根据定义，前者的结果是|OA||OB| Cosθ，后者的结果是|OB||OA| Cosθ，它们明显是相等的。

性质2：点乘满足分配律，也就是说OA·（OB+OC）=OA·OB+OA·OC。

性质3：如果两个矢量相互垂直，那么它们点乘的结果为0。

性质4：如果两个矢量方向一样，那么它们点乘的结果就是他们大小相乘。

此外要注意的是，点乘是不满足结合律的，也就是说没有（OA·OB）·OC=OA·（OB·OC），这是因为两个矢量点乘之后的结果是一个标量，你再让一个标量去点乘另一个矢量就没有意义，点乘是两了个矢量之间的运算。

07坐标系下的点乘

一个矢量有大小又有方向，我们通常是用一个箭头来表示的，箭头的方向就代表了矢量的方向，而箭头的长短就代表了矢量的大小。如果我们这时候建立一个坐标系，把这个箭头的一端移动到坐标原点，那么箭头的另一端就会固定在坐标系的某个点上，这样的话，我们就可以用一个坐标点来表示一个矢量了。

如上图，A点的坐标是（4,3），那么这个矢量OA就可以记为（4,3）。然后，我们把矢量OA沿着x轴和y轴做一个分解：

于是，我们的矢量OA就可以表示成：OA=OB+OC（矢量的加法就是把两个矢量首尾相连，所以OB+BA=OA，而BA=OC，所以OA=OB+OC）。这时候，如果我们在x轴上定义一个单位向量x（1,0），那么OB的长度是x长度的四倍，而他们的方向又一样，所以矢量OB=4x。同样，在y轴上定义一个单位向量y(0,1)，那么OC=3y。那么，OA就可以重新写成：OA=OB+OC=4x+3y。

这样的话，任意一个矢量（x1,y1）都可以写成x1x+y1y。这里要特别区分：x1,y1是坐标，是数，是标量，而黑体的x,y代表的是单位矢量。那么矢量的点乘就可以写成这样：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）。因为点乘满足分配律（见性质2），所以直接完全展开成：x1x2xx+x1y2xy+y1x2yx+y1y2yy。

因为矢量x和y是分别沿着x轴和y轴的，所以它们是相互垂直的，而根据性质3，两个矢量如果相互垂直，它们的点乘结果就是0。也就是说，xy=yx=0，那么上面展开式的中间两项x1y2xy+y1x2yx就直接等于0。而根据性质4，xx= yy=1（因为x和y都是长度为1的单位矢量）。

也就最终得到：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）=x1x2 +y1y2。

08梯度的诞生

由以上推出来的公式的右边部分如下：

再对比一下我们上面推导出来的全微分定理：

那么我们就可以按照这个点乘的公式把这个全微分定理拆成两个矢量点乘的样子，即dz可以写成这样：

上式中右边的这个矢量的两个分量分别是dx和dy，这分别是沿着x轴和y轴分别移动无穷小的距离，它们相加的结果用dl来表示:

上式中左边这个矢量的两个分量分别是函数z=f(x,y)对x和y的两个偏导数，这个用一个新的符号来表示它：

其中▽z的名字就叫：z的梯度。

这样，dz就简化表示为下式：

09梯度的性质

首先▽z是一个矢量，是矢量就既有大小又有方向。

dz表示成了两个矢量的点乘，根据矢量点乘的定义把它们展开，就可以写成这样：

这个dz表示一个微小的变化，要让dz取得最大值，就必须让cosθ取最大值1，也就是必须让▽z和dl这两个矢量的夹角θ=0°。

两个矢量的夹角等于0就是这两个矢量的方向一样。

也就是说：如果我们移动的方向（dl的方向）跟梯度▽z的方向一致的时候，dz的变化最大。这就告诉我们：梯度▽z的方向就是dz变化最快的方向。

10▽算子

梯度▽z的表示式为:

这是一个矢量，但是它看起来好像是▽和一个标量z“相乘”，我们把这个z提到括号的外面来，这时候这个梯度▽z就可以写成这样：

那么，▽的表达式如下：

从函数z得到z的梯度的具体过程就是对这个函数z分别求x的偏导和y的偏导。

单独的▽本身并不是什么具体的东西，需要给▽一个函数，然后▽对这个函数进行一顿操作（求x和y的偏导），最后返回一个这个函数的梯度。

▽就叫▽算子。基于▽算子的巨大影响力，它又有一大堆其他的名字：从它的具体功能上来看，它被称为矢量微分算子；因为它是哈密顿引入进来的，所以它又被称为哈密顿算子；从读音上来说，它又被称为nabla算子或者del算子。

11梯度、散度和旋度

▽算子不是一个矢量，除非你把它作用在一个函数上，否则它没啥意义。但是，它在各个方面的表现确实又像一个矢量，只要你把▽算子的“作用”看成矢量的“相乘”。

一个矢量一般来说有3种“乘法”：

1、矢量A和一个标量a相乘：aA。比如把一个矢量A大小变为原来的2倍，方向不变，那么这时候就可以写成2A。

2、矢量A和一个矢量B进行点乘：A·B。A·B=|A||B|Cosθ。

3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B。|A×B|=|A||B|Sinθ。叉乘跟点乘唯一的区别就是：点乘是两个矢量的大小乘以它们的余弦值Cosθ，叉乘是两个矢量的大小乘以它们的正弦值Sinθ。

那么，同样的，我们的▽算子也有3种作用方式：

1、 ▽算子作用在一个标量函数z上：▽z。它表示函数z的梯度，它表示这个函数z变化最快的方向。

2、 ▽算子跟一个矢量函数E点乘：▽·E。这就表示E的散度。

3、 ▽算子跟一个矢量函数E叉乘：▽×E。它就表示E的旋度。

12电场的散度

因为▽算子的定义是这样的：

那么▽·E就应该写成这样：

因为电场E是一个矢量函数，那可以把E分解成x,y两个分量的和，这两个分量后面跟一个x和y方向的单位向量。那么，上面的式子就可以写成这样：

因为矢量点乘是满足分配律的，所以我们可以把他们按照普通乘法一样展开成四项。而x和y是垂直的单位向量，所以x·y=y·x=0，x·x=y·y=1，然后上式展开后最后剩下的就只有这两项了：

这就是电场E的散度的最终表达式，它的意思很明显：求电场E的散度就是把矢量函数E分解成x和y方向上的两个函数，然后分别对它们求偏导，最后再把结果加起来就行了。

高斯电场定律说通过一个闭合曲面的电通量跟这个闭合曲面包含的电荷量成正比，而且这个曲面可以是任意形状。然后我们为了从宏观进入微观，就让这个曲面不停地缩小缩小，当它缩小到无穷小，缩小到只包含了一个点的时候，这时候我们就说通过这个无穷小曲面的通量和体积的比就叫散度（用div表示）。

也就是说，我们最开始从无穷小曲面的通量定义来的散度和我们上面通过偏导数定义来的散度▽·指的是同一个东西。即：

13为何这两种散度是等价的？

通过无穷小曲面的通量定义的散度很容易理解，跟麦克斯韦方程组的积分形式的通量也有非常大的联系，但是这种定义不好计算。所以我们需要找一种能方便计算、实际可用的方式，这样才出现了▽·形式的散度。

这两种散度的定义方式各有所长，比如我们在判断某一点的散度是否为零的时候，用第一个定义，去看看包含这个点的无穷小曲面的通量是不是为零就行了。如果这一点有电荷，那么这个无穷小曲面的电通量肯定就不为零，它的散度也就不为零；如果这个无穷小曲面没有包含电荷，那这一点的散度一定为0，这就是高斯电场定律的微分方程想要告诉我们的东西。但是，如果你要计算这一点的散度是多少，那还是得拿起▽·去计算。

14散度的几何意义

散度反映的是无穷小曲面的通量，这直接跟这一点是否有电荷对应。

上图的中心有一个正电荷，那么这点的散度不为零。其他地方看起来也是散开的，但是其他地方并没有电荷，没有电荷的话，其他点电场的散度就应该为0（因为这个地方无穷小曲面的通量有进有出，它们刚好抵消了）。

也就是说，对于一个点电荷产生的电场，只有电荷所在的点的散度不为0，其他地方的散度都为0。

15方程一：高斯电场定律

麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的微分形式：

方程的左边▽·E表示电场在某一点的散度，方程右边表示电荷密度ρ和真空介电常数的比值。

因为散度是无穷小曲面的通量跟体积的比值，所以我们的电量也要除以体积，电量Q和体积V的比值就是电荷密度ρ。

麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式是一一对应的，理解这种对应的关键就是理解散度（和旋度）这两种不同定义方式背后的一致性，它是沟通积分和微分形式的桥梁。

16方程二：高斯磁场定律

因为现在还没有找到磁单极子，磁感线都是闭合的曲线，所以闭合曲面的磁通量一定恒为0，这就是高斯磁场定律积分形式的思想：

那么，我们一样把这个曲面缩小到无穷小，通过这个无穷小曲面的磁通量就叫磁场的散度，那么方程的左边就变成了磁场的散度，而右边还是0。也就是说：磁场的散度处处为0。所以，麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的微分形式就是：

17旋度

法拉第定律是法拉第对电磁感应现象的一个总结，他发现只要一个曲面的磁通量（B·a）发生了改变，那么就会在曲面的边缘感生出一个旋涡状的电场E出来。这个旋涡状的感生电场我们是用电场的环流来描述的，也就是电场沿着曲面边界进行的线积分。

用具体的公式表示就是这样：

公式左边是电场E的环流，用来描述这个被感生出来的电场，而公式的右边是磁通量的变化率，用来表示磁通量变化的快慢。

这里我们把这个非闭合曲面缩小缩小，一直缩小到无穷小，那么我们这里就出现了一个无穷小曲面的环流。

让▽算子以叉乘的方式作用在电场E上，我们就得到了电场E的旋度▽×E，而这个旋度的另一种定义就是我们上面说的无穷小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比。因为旋度的英文单词是curl，所以我们用curl（E）表示电场的旋度。所以，我们就可以写下下面这样的式子：

18矢量的叉乘

两个矢量A和B的点乘被定义为：A·B=|A||B|Cosθ，它们的叉乘则被定义为|A×B|=|A||B|Sinθ，其中θ为它们的夹角。单从这样看，它们之间的差别好像很小，只不过一个是乘以余弦Cosθ，另一个是乘以正弦Sinθ。

从它们的几何意义来说，点乘表示的是投影，因为|OA|Cosθ刚好就是OA在OB上的投影，也就是OC的长度。如下图：

叉乘是|OA|Sinθ，这是AC的长度，那么|A×B|=|A||B|Sinθ=|AC||OB|，如果以OA和OB为边长作一个平行四边形，那么AC就刚好是这个平行四边形的高，也就是说，矢量A和B的叉乘（|A×B|=|AC||OB|）就代表了平行四边形OADB的面积。

19方程三：法拉第定律

▽×E可以表示电场的旋度，而且知道旋度的定义是：无穷小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比。

法拉第定律的积分形式：

我们现在假设把那个曲面缩小到无穷小，方程的左边除以一个面积ΔS，那就是电场的旋度▽×E的定义：

左边除了一个面积ΔS，那右边也得除以一个面积，右边本来是磁感应强度的变化率（∂B/∂t）和面积的乘积，现在除以一个面积，那么剩下的就是磁感应强度的变化率∂B/∂t了。那么，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的微分形式自然就是这样：

法拉第定律的微分形式看起来就比积分形式简洁。它告诉我们某一点电场的旋度等于磁感应强度的变化率。

20旋度的几何意义

旋度的定义是无穷小曲面的环流和面积的比值。

在旋度这里，一个变换的磁场会产生一个旋涡状的电场，在旋涡的中心，在磁场变化的这个中心点这里，它的旋度肯定是不为零的。

但是，其它地方的旋度一定为零，这是因为其他地方并没有变化的磁场啊，所以按照法拉第定律的微分形式，没有变化的磁场的地方的电场的旋度肯定是0。

21方程四：安培-麦克斯韦定律

电生磁的安培-麦克斯韦定律的积分形式如下：

左边的磁场的环流，右边是曲面包围的电流（带enc下标的I）和电场的变化率。它告诉我们，如果我们画一个曲面，通过这个曲面的电流和这个曲面里电通量的变化会在曲面的边界感生出一个旋涡状的磁场出来，这个旋涡状的磁场自然是用磁场的环流来描述。

用同样的方法把这个曲面缩小到无穷小的时候，如果我们在方程的左右两边都除以这个曲面的面积，那么方程的左边就成了磁场B的旋度▽×B，

电流I除以面积定义为一个新的物理量：电流密度J。很显然，这个电流密度J就是电流除以电流通过的曲面的面积。电流密度的单位是A/m²（安培每平方米）。

电通量的变化率除以面积之后就剩下电场的变化率∂E/∂t。

这样，麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律的微分形式就是：

虽然还是有点长，但是相比积分形式已经是相当简洁心了，它告诉我们某一点感生磁场的旋度▽×B等于电流密度J和电场变化率∂E/∂t两项的叠加。

22麦克斯韦方程组

至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的微分形式如下：

高斯电场定律说电场的散度跟这点的电荷密度成正比。

高斯磁场定律说磁场的散度处处为0。

法拉第定律说感生电场的旋度等于磁感应强度的变化率。

安培-麦克斯韦定律说感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度变化率之和。

这里最引入注目的就是▽算子了，它以点乘和叉乘的方式组成的散度▽·和旋度▽×构成了麦克斯韦方程组微分形式的核心。

从思想上来讲，微分形式和积分形式表达的思想是一样的，毕竟它们都是麦克斯韦方程组。它们的差别仅仅在于积分形式是从宏观的角度描述问题，我们面对的宏观上的曲面，所以要用通量和环流来描述电场、磁场；而微分形式是从微观的角度来描述问题，这时候曲面缩小都无穷小，我们面对的东西就变成了一个点，所以我们使用散度和旋度来描述电场、磁场。

这一点是特别要强调的：通量和环流是定义在曲面上的，而散度和旋度是定义在一个点上的。

本文是长尾科技《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）》的学习总结，原文可以在长尾科技公众号查看。