ZEMAX 相对照度计算方法解析

ZEMAX OpticStudio 如何计算相对照度？

辐照度

• 光线的辐亮度是单位面积、单位立体角的通量。

• 当光线照射到表面时，辐照度是单位面积的通量。
• 计算相对照度 (RI) 时，假设物体为朗伯光源。
• 朗伯光源意味着辐亮度在物空间中是恒定的。
• 辐亮度不变意味着它在像空间中是常数。
• 因此，辐照度改写如下。

• 上述等式意味着辐照度仅与立体角 和像面上的光线角 有关。
  
  

投影立体角 (PSA)

• 立体角等于单位球面 (r = 1) 的表面积。
• 从这个角度来看，上面被积函数 变为“从单位球面投影到 xy 平面的面积”。
• 此外，单位球面可以被视为方向余弦空间，其中任何具有余弦 (L、M、N) 的光线都可以始终表示为从原点到球壳的单位向量。
• 因此，投影立体角只是方向余弦空间中 LM 平面上的面积！
  
  

假设/限制

• 
  如前所述，RI 是通过在像空间中对给定像点的 PSA 进行积分来计算的。
  
• 
  要将 PSA 积分与 Rl 联系起来，我们需要以下两个假设。
  
• 物空间中的恒定辐亮度。→ 朗伯光源
• 像面处于相当好的共轭状态。
• 
  请注意，以下条件不会破坏假设。在这些条件下，RI 计算仍然有效。
  
• 系统的 FOV 为 90 的一半。
• 物体不是平面。
• 图像不是平面。

在 OpticStudio 中检查余弦空间！

• 始终可以打开 Spot Diagram 并选中 Direction Cosines 选项，以了解来自不同视场的光束在此空间中的样子。
• 理想情况下，可以简单地比较面积以了解相对辐照度。但是，不能只这样做，因为这里的结果包括畸变和像差。有关更多解释，请参阅以下部分。
  
  

LM 空间上的相对面积

• 现在知道为什么，在 Rimmer 的论文中，它说相对照度只是 LM 空间中的相对面积。
• 他还提供了一个很好的简化方法，假设区域是椭圆形的。
• 注意 OpticStudio 不使用这个简化公式，因为孔径可以是任意的，并且不是圆形的。
• 但这是一个很好的例子，可以说明相对照度是 LM 空间中的区域这一想法。
  
  

问题：像差和均匀采样

• 到目前为止，理想情况下，我们知道我们可以通过计算其投影立体角来计算图像平面上特定点的 RI。
• 正如 Rimmer 所解释的那样，一种直接的方法是从像点发射在 LM 空间中均匀的光线网格。然后计算有多少条光线可以通过系统。
• 但是，这并不容易做到，因为我们需要转动镜头。
• 另一方面，如果我们从物点发射光线，则不会起作用，原因有两个。
• 由于像差，这些光线不会完美地汇聚到图像平面上的单个点。
• 这些光线在出瞳网格上为不均匀分布。
  
  

解决方案

• 
  为了解决像差问题，Rimmer 提供了一个很好的近似值来消除像差。
  
• 
  为了获得在图像 LM 空间中均匀分布的光线网格，Rimmer 还提供了一种方法来近似物体和图像之间 LM 空间中的畸变。
  
• 
  注意 OpticStudio 基于与 Rimmer 类似但更精确的方法处理此问题。
  

Rimmer 对 LM 空间的修复以消除像差

• 
  下面显示了一个单镜系统，用于演示 Rimmer 的修复是什么样子。
  
  
  
• 
  左下图显示了 LM 空间中每个视场发出的光束。右下图显示了每条光束所环绕的“相对面积”。在两个图中，实线是原始数据，虚线是 Rimmer 修复后的数据。
  
  
  

菲涅尔损失

• 一个常见问题是如何在相对照度计算中考虑菲涅尔损失。
• 答案是选中“使用偏振”
• 选中此选项后，除了投影立体角外，还会考虑每条光线通过系统的透过率。
• 这非常重要，并且对于广角等系统可能会产生很大的不同。
  
  

结论

1. 
   从物体向图像发射光线网格。
   
2. 
   光线网格应完美聚焦在图像平面上。这可以通过反转系统并从图像到物体进行反向模拟或使用 Rimmer 的方法来修复像差来实现。
   
• 请注意，出于这个原因，余弦空间中的点列图结果通常不可靠，无法进行均匀估计。根据存在的像差程度，修复可能会对光束所传播的面积产生很大影响。
3. 
   光线网格应均匀分布在像空间的余弦空间中。OpticStudio 可以准确处理这一点。
   
4. 
   如果菲涅尔损失在系统中很重要，请在计算相对照度时选中“使用偏振”。这通常对广角系统很重要。
   

Rimmer 对 LM 空间的修复以消除像差

• 使用点列图 + 方向余弦来判断 RI 时要小心。对于像差很大的系统，修改可能会使椭圆非常不同，如下所示。
  
  

无法计算相对照度的情况

无效情况

• 在计算相对照度时，OpticStudio 会尝试检测算法假设是否无效。如果是，则会显示如下图所示的错误。
• 在接下来的部分中，我们将尝试解释一些可能的原因，即在某些夸张的情况下，相对照度计算可能会失败。
  
  

像差过大

• 相对照度要求系统为成像系统。
• 光束聚焦不充分是可以接受的，如下图左所示。但是，如果光束不聚焦，如下图右所示，则会显示错误。
  
  

余弦空间中的焦散

• 对于正常的成像系统，光束在余弦空间中的点列图中应该像“洋葱圈”。如果我们在光瞳空间 中追踪几个同心环，这些环在像空间中的余弦空间中不会相互重叠。
• 但是，对于某些奇怪的系统或复杂的系统，这些环可能会重叠，这称为焦散。这通常不会发生，但当系统包含许多非球面或自由曲面时可能会发生这种情况。
• 由于在点列图中不容易观察到焦散，因此另一种方法是检查“无焦像空间”，看看光线扇面中是否存在局部最小值或最大值。

太少的光线可以到达像面

• 如果太少的光线可以成功到达像面，则无法正确计算 Rl。
• 在这种情况下，建议首先尝试增加光线密度。

余弦四次方定律

余弦四次方定律

• 
  一个常见问题是如何在 OpticStudio 中重现余弦四次方定律。
  
• 
  为了验证它，我们需要一个如下所示的系统
  
• 
  朗伯光源，即亮度在空间-角空间上均匀
  
• 
  系统没有像差
  
• 
  光瞳非常小
  
• 
  验证时经常忘记第三点
  
• 
  在顺序模式下，我们可以简单地构建一个具有小光圈的近轴表面
  
• 注意，光圈应该很小才能正确重现余弦四次方定律
• 
  应该记住， 不是“定律”，它只是使用没有像差的简单系统得到的结果。畸变是决定非 行为的最大（但不是唯一）影响。如果 是定律，就不需要基于立体几何来计算它！
  

相对照度计算适用于非平面物体表面和 HFOV > 90 的系统

首先

• 
  在辐射测量理论中，只要系统没有任何像差，一个像点的辐照度仅与 (1) 对应物点的辐照度和 (2) 光束的像空间投影立体角有关。
  
• 
  换句话说
  
• 
  但是，我们的像差校正方程使用了出瞳直径 D 的信息，它假设系统是旋转对称的，并且 FOV 不是太大。
  
• 
  综上所述，当系统优化得当，像差非常小，物体表面形状和视场可以是任意的。
  
• 
  但是，如果系统像差很大，表面形状不是平面，同时视场很大，Rl 计算可能会出错。
  
• 在这种情况下，分析窗口中会显示警告。

推导

• 在以下部分中，我们将讨论一些辐射测量并推导出以下方程式

流率

• 
  从 到 的流率元素
  

  
  
  

• 
  我们可以将距离和面积元素打包成立体角
  

  
  
  

• 其中 和

投影立体角 (PSA)

• 
  让我们从 出发（可以将以下所有点的“1”和“2”互换）。
  
• 
  根据定义，立体角 与以 为中心的单位球面上形成的面积相同。
  
• 
  从这个角度来看， 是在 延伸的平面上的“投影立体角”。
  
• 
  流率元素是表面元素和投影立体角的乘积。
  
• 
  
  
• 其中
• 
  与 的视点类似
  
• 
  
  
• 其中

成像系统流率的不变性

• 假设一个没有像差的成像系统，其中物点完美地成像到像点。（对于给定的视场）
• 流率通过光学系统是不变的，这意味着
• 其中 是投影在 平面上的立体角，对于 和 也是如此
• 其中 和

辐照度

• 
  假设 的辐照度为常数 。
  
• 
  上的辐照度为
  
• 
  根据流率不变性，我们有 因此
  
• 
  
  
  
• 
  结论：只要辐照度在是常数，并且没有像差，它们的辐亮度仅与 上的 PSA 成比例。辐照度与物空间中的任何其他东西都无关。
  

物体和像面的形状

• 注意，这种关系不要求 和 垂直于光轴。
• 这意味着物体和像面都可以是任意的。
• 唯一必要的条件是这是一个成像系统，其中物点应该投影到像点。

像差

• 
  为了解决像差问题，Rimmer 提供了一种近似方法，通过修改光线的向量来修复它，如下所示。
  
• 
  更多详细信息请参阅他的论文。
  
• 
  M.Rimmer，“相对照度计算”，Proc.SPIE Vol.655，第 99 页（1986 年）。
  

流率不变性（更多）

• 
  下面清楚地解释了流率不变性。
  
  
  
• 
  要点 1：流率元素 是不变的，因此其积分 也是不变的。这意味着整个光束通过表面的流率是不变的。
  
• 
  要点 2：这种积分可以在任何表面上进行，包括曲面。
  
  
  

相对照度计算对于衍射光学/超透镜仍然正确吗？

哈密顿光学

• 在哈密顿光学中，我们知道元素光学扩展量可以写成如下形式
• 是切向平面上的坐标，我们假设法向量朝向 +z 轴。
• ，其中 是光线的方向余弦。
• 是平面上的单位面积，与下图中的 相同
• 是单位投影立体角乘以折射率的平方，，与 相同
  
  

衍射方程

• 
  假设 n=(0,0,1)，衍射对光线传播 (L,M,N) 的影响可以写成如下形式。
  
• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  
• 
  其中
  
• 为衍射级数
• 为入射光线矢量
• 为衍射光线矢量
• 为垂直于光栅条纹的单位矢量
• 
  这意味着衍射仅线性移动光线的方向余弦 。
  
• 因此，我们可以说 LM 空间中的面积在衍射过程中不会改变。因此 在衍射后不会改变。
• 
  总之，衍射过程中，光学扩展量 保持不变。OpticStudio 中 RI 计算的假设仍然有效。