标准具和晶体中的电磁场传输算法（2）
2.理论如图2所示，层状结构分别由两个位于http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113125Y6.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113232425.png的平行平面构成。http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311325a57.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311332O33.png的区域充满了复折射率为http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113401511.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P3131134304C.png的均匀各向同性介质。参考文献中表明使用横向分量Ex和Ey已足够表征均匀各向同性介质中电磁场了。因此，我们可以使用以下表达式来描述此问题：
http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311345XT.png
其中，分别在平面http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113125Y6.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113232425.png处定义输入和输出横向电场矢量，（两者位于界面的数学位置，但总是认为在均匀介质的一侧），由下式给出
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其中http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311355Y15.png。方程（1）中的元件算子是一个2x2的矩阵形式，
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图2.层状结构分别由两个位于http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113125Y6.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113232425.png的平行平面构成。http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311325a57.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311332O33.png的区域由均匀各向同性介质填充，其折射率分别是http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313113401511.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P3131134304C.png。输出场和输出场在层表面进行定义，但总是在相应的各向同性介质的一侧。
在这章节，我们的目标是找到C的精确的形式，以连接层介质元件的输入和输出场。为了研究与层结构的相互作用，我们对输入横向场分量进行了一个傅里叶变换，并获得了
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其中http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311410D38.png, F表示二维傅里叶变换，
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http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313114215403.png。逆傅里叶变换定义如下
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方程（6）中的积分可以解释为将http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P31311430U38.png分解为具有不同横向波矢分量κ的平面波。因此，在我们的情况下，每个输入平面波都可以单独处理——我们首先计算每个输入平面波的输出，然后进行求和从而获得输出场。
此外，根据边界条件对电磁场施加的连续性要求，可以显示出一个给定的输入平面波在与层结构相互作用的过程中其横向波矢分量κ必定保持不变。同样可以显示出，通过叠加原理的有效性，不同的κ之间没有耦合。因此，对于输出角谱，我们可以写下
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其中
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公式（8）中分别是透射和反射系数矩阵。为了计算T(κ) 或者R(κ)，我们选择使用数值稳定S矩阵方法。为了计算S矩阵，首先必须确定每个各向异性层的平面波。基于文献中Berreman的4x4矩阵公式，Landry和Maldonado开发并展示了一种数值友好的形式，见参考文献。我们采用了他们的方法，对于每一层，求解了参考文献中由方程（28）所描述的特征系统的特征值和特征向量。
不同于中直接使用本征解来构建一个转换矩阵，另外，我们还需要根据他们的传输方向整理出平面波，这是为计算S矩阵所做的一个必需的准备。为此，我们遵循中4.3部分由Li所提出的标准。
然后可以应用递归S矩阵公式。我们在这篇文中不再重复给出已发展成熟的S矩阵方法，读者可以参考文献中的方程（5）-（8）以获得更多的信息。在我们的情况中，由于没有反向传输输入场，我们仅对正向透射或者反向反射感兴趣，因此这篇文章中的矩阵系数T(κ) 和R(κ)对应于中方程（5c）或者（5d）中的子矩阵T_uu 或者R_du。
一旦获得了矩阵系数，通过方程(7)即可获得输出角谱。对输出角谱进行一个逆傅里叶变换，我们获得了输出横向场矢量
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通过联合方程（4），（7），（9），我们可以写出从输入场到输出场整个计算流程，如果
我们以透射的情况作为例子，则
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因此，方程（1）中元件算子C的精确形式如下
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通过使用系数矩阵R(κ)代替 T(κ)，可以获得反射情况的表达式。
3.算法
按照方程（10）的顺序，我们可以应用一种数值算法以计算场经过分层介质元件的传输。让我们从横向输入场矢量http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313114F4435.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313114HH57.png，以图3（a）中的均匀网格进行采样。这种网格定义为http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313114KDM.png,其中http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313114ZD30.png和http://www.infotek.com.cn/uploads/allimg/180313/1-1P313114955P5.png作为索引数，δx和δy是x方向和y方向的采样距离。初始采样参数应该受到合适的控制以使他们符合先前算子的奈奎斯特-香农采样定理。方程（10）中的F为联系空间域和频率域的算子，可以使用不同的数值方法实现，像广泛使用的快速傅里叶变换（FFT）技术，以及包含了能够进一步提高数值效率的半解析傅里叶变换和啁啾z变换的更高级的方法。在此篇文章中，我们使用了FFT技术，并以此获得输入角谱。但我们的算法不受限于该技术。
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